Đề bài
Chứng minh rằng nếu \[G\] và \[G\] lần lượt là trọng tâm của các tam giác \[ABC\] và \[ABC\] bất kì thì:\[3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'}. \]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xen cả hai điểm G, G' vào các véc tơ \[\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} \] để tính tổng.
Nhóm các véc tơ thích hợp, sử dụng tính chất trọng tâm \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]
Lời giải chi tiết
G là trọng tâm tam giác ABC nên:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow - \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow 0
\end{array}\]
G' là trọng tâm tam giác A'B'C' nên:
\[\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0\]
Khi đó:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \\
= \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'A'} \\
+ \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} \\
+ \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'C'} \\
= \left[ {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right]\\
+ \left[ {\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} } \right]\\
+ \left[ {\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + + \overrightarrow {G'C'} } \right]\\
= \overrightarrow 0 + 3\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow 0 \\
= 3\overrightarrow {GG'} \\
\Rightarrow \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = 3\overrightarrow {GG'}
\end{array}\]
Cách khác:
Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} \cr
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {B'G'} \cr
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'G'}\cr} \]
\[\Rightarrow 3\overrightarrow {GG'} = [\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ] \]\[+ [\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} ] \]\[+ [\overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} ]\] [1]
\[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\] nên:
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \] [2]
\[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\] nên:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} = \overrightarrow 0 \, \, \, [3]\cr} \]
Từ [1], [2] và [3] suy ra:\[3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'}. \]