Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Trong không gian \[Oxyz\] cho mặt cầu \[[S]\] có phương trình \[{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}4{a^{2}}\left[ {a > 0} \right]\].
LG a
Tính diện tích mặt cầu \[[S]\] và thể tích của khối cầu tương ứng.
Phương pháp giải:
Xác định tâm và bán kính \[R\] của mặt cầu, sử dụng các công thức tính diện tích và thể tích khối cầu: \[S = 4\pi {R^2};\,\,V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\]
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu \[[S]\] có tâm là gốc toạ độ \[O\] và bán kính \[R = 2a\] nên có
\[S = 16πa^2\]; \[V ={{32\pi {a^2}} \over 3}\]
LG b
Mặt cầu \[[S]\] cắt mặt phẳng \[[Oxy]\] theo đường tròn \[[C]\]. Xác định tâm và bán kính của \[[C]\].
Phương pháp giải:
Phương trình đường tròn \[[C]\], giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng \[Oxy\] là:\[\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4{a^2} \hfill \crz = 0 \hfill \cr} \right.\]. Suy ra tâm và bán kính của đường tròn đó.
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường tròn \[[C]\], giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng \[Oxy\] là: \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4{a^2}\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4{a^2}\\z = 0\end{array} \right.\]
Từ đây suy ra mặt phẳng \[z = 0\] cắt mặt cầu theo đường tròn \[[C]\] có tâm là gốc toạ độ \[O\] và bán kính là \[2a\].
LG c
Tính diện tích xung quanh của hình trụ nhận \[[C]\] làm đáy và có chiều cao là \[a\sqrt3\]. Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ:\[{S_{xq}} = 2\pi rh;\,\,V = \pi {r^2}h\], trong đó \[r;h\] lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.
Lời giải chi tiết:
Hình trụ có đáy là đường tròn \[[C]\] và chiều cao \[a\sqrt3\] có:
\[S_{xq}= 2π.[2a].a\sqrt3\] \[\Rightarrow S_{xq}= 4πa^2\sqrt3\]
\[V = π[2a]^2.a\sqrt3\] \[\Rightarrow V = 4πa^3\sqrt3\]