Đề bài
Nêu các tính chất của bất đẳng thức. Áp dụng một trong các tính chất đó, hãy so sánh các số \[{2^{3000}}\]và \[{3^{2000}}\].
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
- Các tính chất của bất đẳng thức
TC1. [ Tính chất bắc cầu]: \[\left\{ \matrix{A < B \hfill \cr B < C \hfill \cr} \right. \Rightarrow A < C\]
TC2. [Quy tắc cộng]: \[A < B A + C < B + C\]
TC3. [Quy tắc cộng hai bất đẳng thức dùng chiều] \[\left\{ \matrix{A < B \hfill \cr C < D \hfill \cr} \right. \Rightarrow A + C < B + D\]
TC4. [Quy tắc nhân]: \[\left\{ \matrix{A < B \hfill \cr C > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow AC < BC\]
\[\left\{ \matrix{A < B \hfill \cr C < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow AC > BC\]
TC5. [Quy tắc nhân hai bất đẳng thức]: \[\left\{ \matrix{0 < A < B \hfill \cr 0 < C < D \hfill \cr} \right. \Rightarrow AC < B{\rm{D}}\]
TC6. [Quy tắc lũy thừa, khai căn]
Với \[A, B > 0, n\mathbb N^*\]ta có:
\[ A < B \Leftrightarrow A^n< B^n\]
\[A < B \Leftrightarrow\root n \of A < \root n \of B \].
- Áp dụng tính chất:
Với \[A, B > 0, n\mathbb N^*\]ta có: \[ A < B \Leftrightarrow A^n< B^n\]
\[\eqalign{
& {2^{3000}} = {\left[ {{2^3}} \right]^{1000}} = {8^{1000}} \cr
& {3^{2000}} = {\left[ {{3^2}} \right]^{1000}} = {9^{1000}} \cr} \]
Vì \[8