Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào \[x\]
LG a
\[\displaystyle A = \sin [{\pi \over 4} + x] - \cos [{\pi \over 4} - x]\]
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức:
\[\begin{array}{l}
\sin \left[ {a + b} \right] = \sin a\cos b + \sin b\cos a\\
\cos \left[ {a - b} \right] = \cos a\cos b + \sin a\sin b
\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
A = \sin \left[ {\dfrac{\pi }{4} + x} \right] - \cos \left[ {\dfrac{\pi }{4} - x} \right]\\
= \sin \dfrac{\pi }{4}\cos x + \sin x\cos \dfrac{\pi }{4} \\- \left[ {\cos \dfrac{\pi }{4}\cos x + \sin \dfrac{\pi }{4}\sin x} \right]\\
= \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x \\- \left[ {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right]\\
= \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x \\- \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x\\
= 0
\end{array}\]
Cách khác:
\[\begin{array}{l}
A = \sin \left[ {\dfrac{\pi }{4} + x} \right] - \cos \left[ {\dfrac{\pi }{4} - x} \right]\\
= \sin \left[ {\dfrac{\pi }{4} + x} \right] - \sin \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \left[ {\dfrac{\pi }{4} - x} \right]} \right]\\
= \sin \left[ {\dfrac{\pi }{4} + x} \right] - \sin \left[ {\dfrac{\pi }{4} + x} \right]\\
= 0
\end{array}\]
LG b
\[\displaystyle B = \cos [{\pi \over 6} - x] - \sin [{\pi \over 3} + x]\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
B = \cos \left[ {\dfrac{\pi }{6} - x} \right] - \sin \left[ {\dfrac{\pi }{3} + x} \right]\\
= \cos \dfrac{\pi }{6}\cos x + \sin \dfrac{\pi }{6}\sin x\\
- \left[ {\sin \dfrac{\pi }{3}\cos x + \cos \dfrac{\pi }{3}\sin x} \right]\\
= \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x\\
- \left[ {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x} \right]\\
= \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x\\
- \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x - \dfrac{1}{2}\sin x\\
= 0
\end{array}\]
Cách khác:
\[\begin{array}{l}
B = \cos \left[ {\dfrac{\pi }{6} - x} \right] - \sin \left[ {\dfrac{\pi }{3} + x} \right]\\
= \sin \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \left[ {\dfrac{\pi }{6} - x} \right]} \right] - \sin \left[ {\dfrac{\pi }{3} + x} \right]\\
= \sin \left[ {\dfrac{\pi }{3} + x} \right] - \sin \left[ {\dfrac{\pi }{3} + x} \right]\\
= 0
\end{array}\]
LG c
\[\displaystyle C = {\sin ^2}x + \cos [{\pi \over 3} - x]\cos[{\pi \over 3} + x]\]
Lời giải chi tiết:
Cách khác:
LG d
\[\displaystyleD = {{1 - \cos 2x + \sin 2x} \over {1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức:
\[\begin{array}{l}
1 + \cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha \\
1 - \cos 2\alpha = 2{\sin ^2}\alpha
\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
D = \dfrac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\\
= \dfrac{{1 - \left[ {1 - 2{{\sin }^2}x} \right] + \sin 2x}}{{1 + \left[ {2{{\cos }^2}x - 1} \right] + \sin 2x}}.\cot x\\
= \dfrac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}.\cot x\\
= \dfrac{{2\sin x\left[ {\sin x + \cos x} \right]}}{{2\cos x\left[ {\sin x + \cos x} \right]}}.\cot x\\
= \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}.\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}\\
= 1
\end{array}\]
Vậy biểu thức \[ D\] không phụ thuộc vào \[x.\]