Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Chứng minh các bất đẳng thức:
LG a
\[5[x-1] < x^5 1< 5x^4[x-1]\], biết \[x 1 > 0\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Vì
\[\begin{array}{l}\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1} \right]\\ = {x^5} - {x^4} + {x^4} - {x^3} + {x^3} - {x^2} \\+ {x^2} - x + x - 1\\ = {x^5} - 1\end{array}\]
LG b
\[x^5+ y^5 x^4y xy^4 0\], biết \[x + y 0\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
{x^5} + {y^5} - {x^4}y - x{y^4}\\
= \left[ {{x^5} - {x^4}y} \right] - \left[ {x{y^4} - {y^5}} \right]\\
= {x^4}\left[ {x - y} \right] - {y^4}\left[ {x - y} \right]\\
= \left[ {x - y} \right]\left[ {{x^4} - {y^4}} \right]\\
= \left[ {x - y} \right]\left[ {{x^2} - {y^2}} \right]\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\\
= \left[ {x - y} \right]\left[ {x - y} \right]\left[ {x + y} \right]\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\\
= {\left[ {x - y} \right]^2}\left[ {x + y} \right]\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]
\end{array}\]
Vì
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {x - y} \right]^2} \ge 0\\
x + y \ge 0\\
{x^2} + {y^2} \ge 0
\end{array} \right.\]
nên \[{\left[ {x - y} \right]^2}\left[ {x + y} \right]\left[ {{x^2} + {y^2}} \right] \ge 0\]
Hay ta có đpcm.
LG c
\[\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} < 5\], biết rằng \[a, b, c\] cùng lớn hơn \[ - \dfrac{1}{4}\] và \[a + b + c = 1.\]
Phương pháp giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si: \[a + b \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow \sqrt {ab} \le \dfrac{{a + b}}{2}\]
Lời giải chi tiết:
Cách khác:
Với
\[a,b,c > - \dfrac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4a + 1 > 0\\
4b + 1 > 0\\
4c + 1 > 0
\end{array} \right.\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
\[\sqrt {4a + 1} = \sqrt {\left[ {4a + 1} \right].1} \]\[ \le \dfrac{{\left[ {4a + 1} \right] + 1}}{2} = 2a + 1\]
\[\sqrt {4b + 1} = \sqrt {\left[ {4b + 1} \right].1} \]\[ \le \dfrac{{\left[ {4b + 1} \right] + 1}}{2} = 2b + 1\]
\[\sqrt {4c + 1} = \sqrt {\left[ {4c + 1} \right].1} \]\[ \le \dfrac{{\left[ {4c + 1} \right] + 1}}{2} = 2c + 1\]
Cộng vế với vế các bđt trên ta được:
\[\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \] \[ \le \left[ {2a + 1} \right] + \left[ {2b + 1} \right] + \left[ {2c + 1} \right]\]
\[ = 2a + 2b + 2c + 3\] \[ = 2\left[ {a + b + c} \right] + 3\] \[ = 2.1 + 3 = 5\]
\[ \Rightarrow \sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \le 5\]
Dấu = xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}4a + 1 = 1\\4b + 1 = 1\\4c + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\\c = 0\end{array} \right.\] [không thỏa mãn \[a + b + c = 1\]]
Vậy dấu = không xảy ra hay \[\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} < 5\].
Suy ra ĐPCM.
Cách khác:
Dấu = xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}4a + 1 = 1\\4b + 1 = 1\\4c + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\\c = 0\end{array} \right.\] [không thỏa mãn \[a + b + c = 1\]]
Vậy dấu = không xảy ra hay \[\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} < 5\].
Suy ra ĐPCM.