Đề bài
Chứng minh rằng: \[\sin x + \tan x > 2x\]với mọi \[x \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh hàm số \[f\left[ x \right] = \sin x + \tan x - 2x\] đồng biến trên nửa khoảng \[\left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\].
Lời giải chi tiết
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = \sin x + \tan x - 2x\]
Ta có: f[x] liên tục trên nửa khoảng \[\left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\] và có đạo hàm: \[f'\left[ x \right] = \cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, - 2\]
Vì \[x \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\] nên \[0 < \cos x < 1 \Rightarrow \cos x > {\cos ^2}x\]
\[ \Rightarrow \cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 2 \] \[> {\cos ^2}x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, - 2 \]
\[ \ge 2\sqrt {{{\cos }^2}x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} - 2 = 2 - 2 = 0\]
Do đó \[f'\left[ x \right] > 0\]với mọi \[x \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\]
Suy ra hàm số \[f\]đồng biến trên \[\,\left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\]
Khi đó ta có \[f\left[ x \right] > f\left[ 0 \right] = 0\]với mọi \[x \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow \sin x + \tan x - 2x > 0\\
\Leftrightarrow \sin x + \tan x > 2x
\end{array}\]
với mọi \[x \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\].