Đề bài
Cho tam giác \[ABC,\]các đường phân giác của góc ngoài tại \[B\]và \[C\]cắt nhau ở \[E.\]Gọi \[G, H, K\]theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \[E\]đến các đường thẳng \[BC, AB, AC.\]
a] Có nhận xét gì về các độ dài \[EH, EG, EK.\]
b] Chứng minh \[AE\]là tia phân giác của góc \[BAC.\]
c] Đường phân giác của góc ngoài tại \[A\]của tam giác \[ABC\]cắt đường thẳng \[BE, CE\]tại \[D, F.\]Chứng minh rằng \[AE\]vuông góc với \[DF.\]
d] Các đường thẳng \[AE, BF, CD\]là các đường gì trong tam giác \[ABC?\]
e] Các đường thẳng \[AE, FB, DC\]là các đường gì trong tam giác \[DEF?\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+] Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó
+] Điểm cách đều hai cạnh của một góc nằm trên tia phân giác của góc đó
+] Hai đường phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết
a] \[E\]thuộc tia phân giác của \[\widehat {CBH}\]
\[ \Rightarrow EG = EH\][tính chất tia phân giác] [1]
\[E\]thuộc tia phân giác của \[\widehat {BCK}\]
\[ \Rightarrow EG = EK\][tính chất tia phân giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[EH = EG = EK\]
b] Ta có: \[EH = EK [cmt]\]
\[ \Rightarrow E\]thuộc tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]mà \[E\]khác \[ A\]
Nên \[AE\]là tia phân giác của\[\widehat {BAC}\]
c] \[AE\] là tia phân giác góc trong tại đỉnh \[A.\]
\[AF\]là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh \[A.\]
\[ \Rightarrow \]\[A{\rm{E}} \bot {\rm{AF}}\][tính chất hai góc kề bù]
Hay\[A{\rm{E}} \bot {\rm{DF}}\]
d] Tương tự câu b ta có \[BF\]là tia phân giác của \[\widehat {ABC}\] và \[CD\]là tia phân giác của \[\widehat {ACB}\]
Theo câu b] ta có:\[AE\]là tia phân giác của\[\widehat {BAC}\]
Vậy các đường \[AE, BF, CD\]là các đường phân giác của \[ABC\]
e] Tương tự câu c] ta có:
\[BF\]là phân giác góc trong tại đỉnh \[B.\]
\[BE\] là phân giác góc ngoài tại đỉnh \[B.\]
\[\Rightarrow BF \bot BE\][tính chất hai góc kề bù]
Hay \[BF \bot E{\rm{D}}\]
\[CD\] là đường phân giác góc trong tại \[C\]
\[CE\] là đường phân giác góc ngoài tại \[C\]
\[ \Rightarrow C{\rm{D}} \bot CE\][tính chất hai góc kề bù]
Hay \[C{\rm{D}} \bot {\rm{EF}}\]
Mà\[A{\rm{E}} \bot {\rm{DF}}\] [theo câu c]
Vậy các đường thẳng \[AE, FB, DC\] là các đường cao trong tam giác \[DEF.\]