Đề bài
Cho tam giác DEF. Tia phân giác của gióc D và E cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với EF, đường thẳng này cắt DE tại M, cắt DF tại N. Chứng minh rằng ME + NF = MN.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\widehat {MIE} = \widehat {IEF}\] [hai góc so le trong và MN // EF]
\[\widehat {MEI} = \widehat {IEF}\] [EI là tia phân giác của \[\widehat {DEF}\]]
Do đó \[\widehat {MIE} = \widehat {MEI}\] => MIE cân tại M => ME = MI [1]
DEF có: I là giao điểm của hai đường phân giác của góc D và góc E [gt]
Do đó theo định lí về ba đường phân giác
Ta có FI là tia phân giác của \[\widehat {DFE}.\]
\[ \Rightarrow \widehat {IFE} = \widehat {IFN}\]
Mà \[\widehat {IFE} = \widehat {NIF}\] [hai góc so le trong và IN // EF]
Nên \[\widehat {IFN} = \widehat {NIF}.\]
Do đó INF cân tại N => NF = IN [2]
Từ [1] và [2] cộng vế theo vế ta có: ME + NF = MI + IN = MN.