Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A [AB < AC]. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ \[MD \bot AB[D \in AB]\] và \[ME \bot AC[E \in AC]\] .
a] Chứng minh rằng tứ giác ADME là hình chữ nhật.
b] Trên tia đối của tia DM lấy điểm N sao cho D là trung điểm MN. Chứng minh rằng tứ giác AMBN là hình thoi.
c] AM cắt CD tại F. Chứng minh rằng \[MB = 3MF.\]
d] Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ADME. Vẽ CK vuông góc với BN tại K. Chứng minh rằng tứ giác IKC cân.
Lời giải chi tiết
a] Xét tứ giác ADME có: \[\widehat {ADE} = {90^0}\] [\[\Delta ABC\] vuông tại A]
\[\widehat {ADM} = {90^0}\] [\[MD \bot AB\] tại D] và \[\widehat {AEM} = {90^0}\] [\[ME \bot AC\] tại E]
Do đó tứ giác ADME là hình chữ nhật.
b] \[\Delta ABC\] có M là trung điểm của BC.
Và MD // AC [MD // AE, \[E \in AC\]]
\[ \Rightarrow D\] là trung điểm của AB.
Và D là trung điểm của NM [gt]
Do đó tứ giac AMBN là hình bình hành
Mà \[AB \bot NM\,\,\left[ {gt} \right]\] nên tứ giác AMBN là hình thoi.
c] \[\Delta ABC\] vuông tại A có AM là đường trung tuyến [M là trung điểm của BC]
\[ \Rightarrow AM = {1 \over 2}BC\].
Mà \[BM = {1 \over 2}BC\] [M là trung điểm của BC] nên \[AM = BM\].
\[\Delta ABC\] có AM cắt CD tại F [gt];
AM là đường trung tuyến [M là trung điểm của BC]
CD là đường trung tuyến [D là trung điểm của AB]
\[ \Rightarrow F\] là trọng tâm của tam giác ABC \[ \Rightarrow FM = {1 \over 3}AM \Rightarrow AM = 3FM\].
Mà \[AM = BM\,\,\left[ {cmt} \right] \Rightarrow BM = 3MF\].
d] Hình chữ nhật ADME có AM và DE cắt nhau tại I [gt] \[ \Rightarrow I\] là trung điểm của AM.
Tứ giác ANMC có \[AN = MC\,\,\left[ { = BM} \right]\] và AN // MC [AN //BM, \[M \in BC\]]
\[ \Rightarrow ANMC\] là hình bình hành \[ \Rightarrow \] AM và NC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà I là trung điểm của AM [cmt] nên I là trung điểm của NC.
\[ \Rightarrow KI = IC = {1 \over 2}NC \Rightarrow \Delta IKC\] cân tại I.