Đề bài
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm cảu các cạnh AB, BC, CD, DA.
a] Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình bình hành.
b] Hai đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD cần điều kiện gì để tứ giác EFGH lần lượt là:
- Hình chữ nhật
- Hình thoi
- Hình vuông.
Lời giải chi tiết
a] E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC [gt]
\[ \Rightarrow EF\] là đường trung bình của tam giác ABC
\[ \Rightarrow EF//AC\] và \[EF = {1 \over 2}AC\,\,\left[ 1 \right]\]
H, G lần lượt là trung điểm của AD và DC [gt]
\[ \Rightarrow HG\] là đường trung bình của tam giác ACD
\[ \Rightarrow HG//AC\] và \[HG = {1 \over 2}AC\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra EF // HG và \[EF = HG\]
Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành.
b] Tứ giác EFGH là hình bình hành. EF // AC, \[EF = {1 \over 2}AC\]
Ta còn có EH là đường trung bình của tam giác ABD
\[ \Rightarrow EH//BD\] và \[EH = {1 \over 2}BD\]
* Tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
\[ \Leftrightarrow \] Hình bình hành EFGH có \[\widehat {HEF} = {90^0} \Leftrightarrow HE \bot EF \Leftrightarrow EH \bot AC \Leftrightarrow AC \bot BD\]
Vậy tứ giác ABCD cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau thì tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
* Tứ giác EFGH là hình thoi.
\[ \Leftrightarrow \] Hình bình hành EFGH có \[EF = EH \Leftrightarrow AC = BD\]
Vậy tứ giác ABCD cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và BD bằng nhau thì tứ giác EFGH là hình thoi.
* Tứ giác EFGH là hình vuông.
\[ \Leftrightarrow \] Hình chữ nhật EFGH có \[EF = EH \Leftrightarrow AC = BD\]
Vậy tứ giác ABCD cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và BD vuông góc và bằng nhau thì tứ giác EFGH là hình vuông.