Đề bài
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM, cắt các cạnh AB, AC. Gọi \[A',B',C'\] theo thứ tự là hình chiếu của A, B, C lên d. Chứng minh: \[BB' + CC' = 2AA'.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Định nghĩa:Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
- Định lí:Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Lời giải chi tiết
Ta có \[BB' \bot d,CC' \bot d \Rightarrow BB'//CC'\] nên \[BB'C'C\] là hình thang.
M là trung điểm của BC [gt], \[MM' \bot d \Rightarrow MM'// BB'// CC'\] nên \[MM'\] là đường trung bình của hình thang \[BB'C'C\] ta có:
\[MM' = \dfrac{BB' + CC'} { 2}\]
\[\Rightarrow BB' + CC' = 2MM'.\]
Xét\[\Delta AA'I\] và \[\Delta MM'I\] có:
IA=IM [gt]
\[\widehat {A'} = \widehat {M'} = {90^0}\]
\[\widehat {AIA'} = \widehat {MIM'}\] [đối đỉnh]
Suy ra \[\Delta AA'I = \Delta MM'I\] [cạnh huyền góc nhọn] \[ \Rightarrow AA' = MM'.\]
Vậy \[BB' + CC' = 2AA'.\]