Đề bài
Cho nửa đường tròn [O; R] đường kính AB. Vẽ dây CD sao cho CD //AB và \[CD = R\sqrt 3 \].
a] Tính diện tích hình thang ABDC.
b] Tính thể tích của hình được sinh ra khi quay hình thang ABDC quanh AB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Công thức tính diện tích hình thang: \[S = \frac{{\left[ {a + b} \right].h}}{2}\]
Công thức tính thể tích hình nón : \[{V_n} = {1 \over 3}\pi {R^2}h \]
Công thức tính thể tích hình trụ:\[{V_t} = \pi {R^2}h\]
[Thể tích của hình sinh ra là :\[V = {V_t} + 2{V_n}\]]
Lời giải chi tiết
a] Ta có : \[CD = R\sqrt 3 \left[ {gt} \right] \Rightarrow \widehat {COD} = 120^\circ \]
COD cân tại O \[ \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}} = 30^\circ \]
CD // AB [gt] \[ \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{C_1}} = 30^\circ \] [so le trong]
Kẻ CH vuông góc với AB tại H, ta có CHO vuông, có \[\widehat {{O_1}} = 30^\circ \] nên \[CH = CO.\sin 30^\circ = {R \over 2}\]
Vậy \[{S_{ABDC}} = {{\left[ {AB + CD} \right].CH} \over 2} = {{\left[ {2R + R\sqrt 3 } \right].{R \over 2}} \over 2} \]\[\;= {{{R^2}\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]} \over 4}\].
b] Khi quay hình thang ABDC quanh cạnh đáy AB ta được hình sinh ra gồm một hình trụ có bán kính đáy là \[CH = {R \over 2}\], chiều cao \[CD = R\sqrt 3 \] và hai hình nón bằng nhau có bán kính đáy là \[CH = {R \over 2}\] và chiều cao AH.
Trong tam giác vuông CHO, ta có :
\[HO = \sqrt {C{O^2} - C{H^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {{R \over 2}} \right]}^2}} \]\[\;= {{R\sqrt 3 } \over 2}\]
\[ \Rightarrow AH = AO - HO = R - {{R\sqrt 3 } \over 2} \]\[\;= {{R\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} \over 2}\]
Vậy ta gọi Vn là thể tích hình nón.
\[{V_n} = {1 \over 3}\pi {R^2}h = {1 \over 3}\pi .C{H^2}.AH\]\[\; = {1 \over 3}\pi {\left[ {{R \over 2}} \right]^2}.{{R\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} \over 2} = {{\pi {R^3}\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} \over {24}}\]
Do đó hai hình tròn bằng nhau có thể tích là : \[2{V_n} = {{\pi {R^3}\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} \over {12}}\]
Và gọi Vt là thể tích hình trụ :
\[{V_t} = \pi {R^2}h = \pi .C{H^2}.CD \]\[\;= \pi {\left[ {{R \over 2}} \right]^2}.R\sqrt 3 = {{\pi {R^3}\sqrt 3 } \over 4}\]
Vậy thể tích của hình sinh ra là :
\[V = {V_t} + 2{V_n} = {{\pi {R^3}\sqrt 3 } \over 4} + {{\pi {R^3}\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} \over {12}}\]
\[\;\;\;\; = {{3\pi {R^3}\sqrt 3 + 2\pi {R^3} - \pi {R^3}\sqrt 3 } \over {12}} = {{2\pi {R^3}\sqrt 3 + 2\pi {R^3}} \over {12}} \]
\[\;\;\;\;= {{\pi {R^3}\left[ {\sqrt 3 + 1} \right]} \over 6}\].