Đề bài
Cho ABC đều có cạnh bằng a, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a. Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D, C thuộc cùng một đường tròn. Hãy xác định tâm bán kính của đường tròn đó.
b. Chứng minh rằng điểm H nằm trong đường tròn và điểm A nằm ngoài đường tròn đi qua bốn điểm B, E, D, C.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
a] Để chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn, ta chứng minh 4 điểm đó cùng cách đều một điểm cố định
b] Nếu A nằm trên đường tròn [O;R] thì OA=R
Nếu A nằm trong đường tròn [O; R] thì OAR.
Lời giải chi tiết
a. Gọi O là trung điểm của BC, các tam giác vuông BDC và BEC có OD, OE là các đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BC nên
\[\eqalign{ & OD = OE = {1 \over 2}BC \cr & hay\,OD = OE = OB = OC = {1 \over 2}a \cr} \]
Vậy bốn điểm B, E, D, C thuộc cùng một đường tròn, tâm O là trung điểm của BC và bán kính bằng \[{1 \over 2}BC = {1 \over 2}a\]
b. ABC đều nên trực tâm H cũng đồng thời là trọng tâm, AO là trung tuyến nên đồng thời là đường cao và A, H, O thẳng hàng.
Xét tam giác vuông AOB, ta có:
\[AO = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}} \] [định lí Pi-ta-go ]
\[ = \sqrt {{a^2} - {{\left[ {{a \over 2}} \right]}^2}} = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
Mặt khác, vì H là trọng tâm của ABC nên:
\[OH = {1 \over 3}AO = {1 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 6}\]
Nhận thấy: \[{{a\sqrt 3 } \over 6} < {a \over 2},\] do đó điểm H nằm trong đường tròn \[\left[ {O,{a \over 2}} \right];\]
Và \[{{a\sqrt 3 } \over 2} > {a \over 2},\] do đó điểm A nằm ngoài đường tròn \[\left[ {O;{a \over 2}} \right].\]