Đề bài
Cho đường tròn [O] đường kính AB. Từ A kẻ hai đường thẳng cắt đường tròn tại C và D, cắt tiếp tuyến của đường tròn vẽ qua B tại E và F.
a] Chứng minh các điểm C, E, F, D cùng thuộc một đường tròn.
b] Chứng minh: \[FB^2= FA.FD\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a.Chứng minh tứ giác CEFD có 1 góc bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện
b.Sử dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác
Lời giải chi tiết
a] Nối B và D có :
\[\widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}}\] [ góc nội tiếp cùng chắn cung AD]
\[\widehat {{B_1}} = \widehat {{F_1}}\] [ cùng phụ với\[\widehat {DBF}\]],
\[ \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{F_1}}.\]
Do đó tứ giác CEFD nội tiếp hay bốn điểm C, E, F, D cùng thuộc một đường tròn.
Cách giải khác :
\[\widehat F = \dfrac{{sd\overparen{AB} - sd\overparen{BD}} }{2} = \dfrac{{sd\overparen{AD}}}{ 2}\][ góc có đỉnh bên ngoài]
\[\widehat {{C_1}} =\dfrac {{sd\overparen{AD}} }{ 2}\] [ góc nội tiếp] \[ \Rightarrow \widehat F = \widehat {{C_1}}\].
b] \[ABF\] vuông [ tính chất tiếp tuyến] có BD là đường cao nên \[FB^2= FA.FD\] [ hệ thức lượng trong tam giác vuông].