Đề bài
Cho đường tròn [O]. Từ điểm P bên ngoài đường tròn kẻ cát tuyến PAB và hai tiếp tuyến PM, PN với [O] [M thuộc cung nhỏ AB]. Lấy D là điểm chính giữa của cung lớn AB, DM cắt AB tại I.
a]Chứng minh: \[PM = PI\].
b] Chứng minh: \[IA.NB = IB.NA\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a.Sử dụng:
+Số đogóc giữa tiếp tuyến và một dây
+Số đogóc có đỉnh bên trong đường tròn
Chứng minh tam giác PMI cân
b. Sử dụng
+tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
+Góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và một dây
+Tính chất đường phân giác
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\widehat {PMD} = \dfrac{{sd\overparen{DA} + sd\overparen{MA}}}{ 2}\] [ góc giữa tiếp tuyến và một dây]
\[\widehat {PIM} = \dfrac{{sd\overparen{DB} + sd\overparen{MA}}}{ 2}\] [ góc có đỉnh bên trong đường tròn]
Mà \[\overparen{DB} =\overparen{DA}\] [gt] \[\Rightarrow \widehat {PMD} = \widehat {PIM}\]
Do đó \[PMI\] cân tại đỉnh P \[ \Rightarrow PM = PI.\]
b] \[PM = PN\] [ [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
Mà \[PM = PI\] [cmt] \[ \Rightarrow PN = PI\] nên \[PNI\] cân \[\Rightarrow \widehat {PNI} = \widehat {PIN}\]
Mà \[\widehat {PNI} = \widehat {PNA} + \widehat {ANI}\] và \[\widehat {PIN} = \widehat {INB} + \widehat B\] [ góc ngoài của NIB]
Mà \[\widehat B = \widehat {PNA}\] [góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và một dây]
\[\Rightarrow \widehat {ANI} = \widehat {INB}\] hay NI là phân giác của \[ANB.\]
Theo tính chất đường phân giác, ta có :
\[\dfrac{{IA}}{{IB}} = \dfrac{{NA} }{ {NB}}\]
\[ \Rightarrow IA.NB = IB.NA.\]