Đề bài
Chứng minh định lý sau bằng phản chứng
Nếu n là số tự nhiên và n2chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5.
Lời giải chi tiết
Giả sử n là số tự nhiên và \[{n^2}\] chia hết cho 5 nhưng n không chia hết cho 5.
Khi đó \[n = 5k + r\] với \[r \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\]
TH1: \[n = 5k + 1\] thì \[{n^2} = {\left[ {5k + 1} \right]^2} = 25{k^2} + 10k + 1\] không chia hết cho 5 [mâu thuẫn]
TH2: \[n = 5k + 2\] thì \[{n^2} = {\left[ {5k + 2} \right]^2} = 25{k^2} + 20k + 4\] không chia hết cho 5 [mâu thuẫn]
TH3: \[n = 5k + 3\] thì \[{n^2} = {\left[ {5k + 3} \right]^2} = 25{k^2} + 30k + 9\] không chia hết cho 5 [mâu thuẫn]
TH4: \[n = 5k + 4\] thì \[{n^2} = {\left[ {5k + 4} \right]^2} = 25{k^2} + 40k + 16\] không chia hết cho 5 [mâu thuẫn]
Do đó nếu \[n\] không chia hết cho 5 thì \[{n^2}\] không chia hết cho 5 [mâu thuẫn giải thiết]
Vậy n chia hết cho 5.