Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \[n\], ta luôn có bất đẳng thức sau :
\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} < 2\sqrt n \]
Lời giải chi tiết
+] Với \[n = 1\] ta có \[1 < 2\sqrt 1 \] .
Vậy [1] đúng với \[n = 1\]
+] Giả sử [1] đúng với \[n = k\], tức là ta có :
\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} < 2\sqrt k \]
+] Ta chứng minh [1] đúng với \[n = k + 1\], tức là phải chứng minh :
\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \left[ * \right]\]
Theo giả thiết qui nạp ta có :
\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\]
Để chứng minh [*] ta cần chứng minh
\[2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \]
Thật vậy ta có :
\[\eqalign{
& 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \cr
& \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left[ {k + 1} \right]} + 1 < 2\left[ {k + 1} \right] \cr
& \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left[ {k + 1} \right]} < 2k + 1 \cr
& \Leftrightarrow 4k\left[ {k + 1} \right] < {\left[ {2k + 1} \right]^2} \cr} \]
\[ \Leftrightarrow 4{k^2} + 4k < 4{k^2} + 4k + 1\]
\[ 0 < 1\] [luôn đúng]
Vậy ta có [*] luôn đúng tức [1] đúng với \[n = k + 1\], do đó [1] đúng với mọi \[n \in \mathbb N^*\].