Đề bài
Tìm các giá trị của m để phương trình \[{x^4} - 2m{x^2} + {m^2} - 1 = 0\] vô nghiệm.
Lời giải chi tiết
Đặt \[y = {x^2},y \ge 0.\] Khi đó vế trái của phương trình đã cho trở thành \[f\left[ y \right] = {y^2} - 2my + {m^2} - 1.\]
Điều kiện của bài toán được thỏa mãn nếu phương trình \[f\left[ y \right] = 0\] vô nghiệm hoặc chỉ có hai nghiệm âm.
Cách 1. Do \[\Delta ' = 1\] nên phương trình \[f\left[ y \right] = 0\] có hai nghiệm \[{y_1} = m - 1\] và \[{y_2} = m + 1\]. Ta phải có:
\[\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\m + 1 < 0,\end{array} \right.\]
tức là \[m < - 1\]
Vậy phương trình trùng phương đã cho vô nghiệm khi \[m < - 1\].
Cách 2. Do \[\Delta ' = 1\] nên phương trình \[f\left[ y \right] = 0\] có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm đó âm khi và chỉ khi
\[\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{a} = 2m < 0\\\dfrac{c}{a} = {m^2} - 1 > 0,\end{array} \right.\]
tức là \[m < - 1\].
Vậy phương trình trùng phương đã cho vô nghiệm khi \[m < - 1\].