Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm I[2 ; 4], B[1 ; 1], C[5 ; 5]. Tìm điểm A sao cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Lời giải chi tiết
Ta có : \[IB = \sqrt {{{\left[ {1 - 2} \right]}^2} + {{\left[ {1 - 4} \right]}^2}} = \sqrt {10} \]
\[\begin{array}{l}IC = \sqrt {{{[5 - 2]}^2} + {{[5 - 4]}^2}} = \sqrt {10} \\IB = IC \Rightarrow AB = AC.\end{array}\]
Gọi M là trung điểm của BC, ta có M[3 ; 3].
Phương trình đường thẳng \[IM:x + y - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\]
Phương trình đường thẳng \[IB:3x - y - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2]\]
Gọi N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng IB.
Đặt N[x;y], ta có tọa độ trung điểm H của MN là \[\left[ {\frac{{x + 3}}{2};\frac{{y + 3}}{2}} \right].\]
\[\overrightarrow {MN} = [x - 3;y - 3]\]
\[\overrightarrow {BI} = [1;3]\]
Ta có : \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BI} = 0\\H \in IB\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 + 3[y - 3] = 0\\3\left[ {\frac{{x + 3}}{2}} \right] - \left[ {\frac{{y + 3}}{2}} \right] - 2 = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 12 = 0\\3x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{{19}}{5}.\end{array} \right.\]
Vậy \[N\left[ {\frac{3}{5};\frac{{19}}{5}} \right].\]
Ta có B[1 ; 1]. Phương trình đường thẳng \[BN:7x + y - 8 = 0.\]
Điểm A là giao của hai đường thẳng BN và IM nên tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x + y - 8 = 0\\x + y - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{{17}}{3}\end{array} \right.\]
Vậy tọa độ điểm A là \[\left[ {\frac{1}{3};\frac{{17}}{3}} \right].\]