Đề bài
Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n:
a] n. [n+1] . [n+2] chia hết cho 2 và 3;
b] n. [n+1] . [n+2] . [n+3] chia hết cho 3 và 8
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét các trường hợp của n
Nếu 1 tích các số nguyên có thừa số chia hết cho n thì tích đó chia hết cho n
Lời giải chi tiết
a] + Nếu n chẵn thì n. [n+1] . [n+2] chia hết cho 2 vì n chia hết cho 2. Nếu n lẻ thì n. [n+1] . [n+2] chia hết cho 2 vì n+1 chia hết cho 2
+ Nếu n chia hết cho 3 thì n. [n+1] . [n+2] chia hết cho 3 vì n chia hết cho 3. Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n. [n+1] . [n+2] chia hết cho 3 vì n+2 chia hết cho 3. Nếu n chia cho 3 dư 2 thì n. [n+1] . [n+2] chia hết cho 3 vì n+1 chia hết cho 3
Vậy n. [n+1] . [n+2] chia hết cho 2 và 3, với mọi số nguyên n
b] + Nếu n chia hết cho 3 thì n. [n+1] . [n+2] . [n+3] chia hết cho 3 vì n chia hết cho 3. Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n. [n+1] . [n+2] . [n+3] chia hết cho 3 vì n+2 chia hết cho 3. Nếu n chia cho 3 dư 2 thì n. [n+1] . [n+2] . [n+3] chia hết cho 3 vì n+1 chia hết cho 3
+ Nếu n chia hết cho 4 thì n. [n+1] . [n+2] . [n+3] chia hết cho 8 [ vì n chia hết cho 4, n+2 chia hết cho 2]. Nếu n chia cho 4 dư 1 thì n. [n+1] . [n+2] . [n+3] chia hết cho 8 [vì n +3 chia hết cho 4 và n+1 chia hết cho 2]. Nếu n chia cho 4 dư 2 thì n. [n+1] . [n+2] . [n+3] chia hết cho 8 [vì n+2 chia hết cho 4, n chia hết cho 2]. Nếu n chia cho 4 dư 3 thì n. [n+1] . [n+2] . [n+3] chia hết cho 8 [vì n+1 chia hết cho 4, n+3 chia hết cho 2].
Vậy n. [n+1] . [n+2] . [n+3] chia hết cho 3 và 8, với mọi số nguyên n