Đề bài
Để chứng minh \[x\left[ {1 - x} \right] \le \dfrac{1}{4}\] với mọi x, bạn An đã làm như sau :
Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho hai số \[x\] và \[1 x\], ta có
\[\sqrt {{\rm{x}}\left[ {1 - x} \right]} \le \dfrac{{{\rm{x}} + 1 - x}}{2} = \dfrac{1}{2}\]
Do đó
\[x\left[ {1 - x} \right] \le \dfrac{1}{4}\]
Theo em, bạn An giải như thế đúng hay sai, vì sao ? Em giảibài này như thế nào ?
Lời giải chi tiết
Bạn An giảinhư vậy là sai.
Sai lầm của bạn An là không để ý điều kiện của các số a, b trong bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân \[\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {{\rm{a}}b} \] là \[a 0, b 0\]. Trong bài này \[x\] và \[1 x\] chỉ không âm khi \[x \in \left[ {0;1} \right].\]
Lời giảiđúng là :
\[x\left[ {1 - x} \right] \le \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow - {x^2} + {\rm{x}} \le \dfrac{1}{4}\]
\[\Leftrightarrow {x^2} - x + \dfrac{1}{4} \ge 0 \Leftrightarrow {\left[ {{\rm{x}} - \dfrac{1}{2}} \right]^2} \ge 0,\] bất đẳng thức này hiển nhiên đúng với mọi x.