\[\eqalign{& x{\left[ {a - 2x} \right]^2} \cr & = {1 \over 4}.4x.\left[ {a - 2x} \right]\left[ {a - 2x} \right] \le {1 \over 4}.{\left[ {{{4x + a - 2x + a - 2x} \over 3}} \right]^3} \cr & = {1 \over 4}.{\left[ {{{2a} \over 3}} \right]^3} = {{2{a^3}} \over {27}} \cr} \]
Đề bài
Cho a > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của
\[y = x{\left[ {{a} - 2{x}} \right]^2}\] với \[0 \le x \le \dfrac{{\rm{a}}}{2}\]
Lời giải chi tiết
Do \[0 \le x \le \dfrac{{\rm{a}}}{2}\] nên \[a - 2{x} \ge 0.\] Ta có
\[\eqalign{& x{\left[ {a - 2x} \right]^2} \cr & = {1 \over 4}.4x.\left[ {a - 2x} \right]\left[ {a - 2x} \right] \le {1 \over 4}.{\left[ {{{4x + a - 2x + a - 2x} \over 3}} \right]^3} \cr & = {1 \over 4}.{\left[ {{{2a} \over 3}} \right]^3} = {{2{a^3}} \over {27}} \cr} \]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[4x = a 2x,\] tức là \[x = \dfrac{a}{6}.\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của y là \[\dfrac{{2{{a}^3}}}{{27}}\] khi và chỉ khi \[x = \dfrac{a}{6}\]