Đề bài
Đáy của hình chóp A.BCD là tam giác đều. Đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh A đi qua trung điểm H của cạnh CD. Cắt hình chóp đó bởi mặt phẳng song song với AB và CD và cách đỉnh B một khoảng bằng d. Tính diện tích thiết diện thu được, biết cạnh của tam giác đều BCD là a và \[AB = a\sqrt 2 \].
Lời giải chi tiết
Dễ thấy thiết diện là hình bình hành PQRS. Mặt khác theo giả thiết \[C{\rm{D}} \bot \left[ {AHB} \right]\] nên \[C{\rm{D}} \bot AB\]. Vậy PQRS là hình chữ nhật.
Kẻ \[HE \bot AB\] thì \[HE \bot \left[ {PQ{\rm{RS}}} \right]\]. Kẻ IK // HE thì \[IK \bot \left[ {PQ{\rm{RS}}} \right]\]. Do AB // [PQRS] và \[d\left[ {B;\left[ {PQ{\rm{RS}}} \right]} \right] = d\] nên IK = d.
Ta có
\[HE = {{AH.HB} \over {AB}} = {{\sqrt {A{B^2} - B{H^2}} .HB} \over {AB}} = {{a\sqrt {15} } \over {4\sqrt 2 }}\]
Lại có
\[\eqalign{ & {{IK} \over {HE}} = {{BI} \over {BH}} = {{R{\rm{S}}} \over {C{\rm{D}}}} \cr & \Rightarrow R{\rm{S}} = {{da} \over {a\sqrt {15} }}.4\sqrt 2 = {{4\sqrt 2 d} \over {\sqrt {15} }}; \cr & BI = {{IK.BH} \over {HE}} = {{d.{{a\sqrt 3 } \over 2}} \over {{{a\sqrt {15} } \over {4\sqrt 2 }}}} = {{2\sqrt 2 d} \over {\sqrt 5 }} \cr} \]
Mặt khác \[{{IJ} \over {AB}} = {{HI} \over {HB}} = {{\left[ {HB - IB} \right]} \over {HB}};\]
Từ đó \[IJ = {{AB\left[ {HB - IB} \right]} \over {HB}} = {{\sqrt 2 \left[ {a\sqrt {15} - 4\sqrt 2 d} \right]} \over {\sqrt {15} }}\]
Vậy \[{S_{PQ{\rm{RS}}}} = R{\rm{S}}.IJ = {8 \over {15}}d\left[ {a\sqrt {15} - 4\sqrt 2 d} \right]\] .