Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] song song với cả AC và BD cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại các điểm P, Q, R, S.
a] Chứng minh rằng tứ giác PQRS là hình bình hành.
b] Xác định vị trí của điểm P trên cạnh AB để tứ giác PQRS là hình thoi.
Lời giải chi tiết
a]
\[\left. \matrix{
AC//\alpha \hfill \cr
AC \subset \left[ {ABC} \right] \hfill \cr
[\alpha ] \cap [ABC] = PQ \hfill \cr} \right\} \Rightarrow PQ//AC\]
\[\left. \matrix{
AC//\alpha \hfill \cr
AC \subset \left[ {ACD} \right] \hfill \cr
[\alpha ] \cap [ACD] = RS \hfill \cr} \right\} \Rightarrow RS//AC\]
Từ trên, suy ra: PQ // RS [//AC] [1]
Chứng minh tương tự, ta có:
PS // QR [//BD] [2]
Từ [1] và [2] suy ra tứ giác PQRS là hình bình hành.
b] Vì \[PS//BD \Rightarrow {{PS} \over {BD}} = {{PA} \over {AB}}\]
Nên \[PS = {{BD} \over {AB}}.PA.\] [3]
Vì \[PQ//AC \Rightarrow {{PQ} \over {AC}} = {{PB} \over {AB}}\]
Nên \[PQ = {{AC} \over {AB}}.PB.\] [4]
Tứ giác PQRS là hình thoi khi và chỉ khi PS = PQ
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow BD.PA = AC.PB \cr
& \Leftrightarrow {{PA} \over {PB}} = {{AC} \over {BD}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[5] \cr} \]
Tứ giác PQRS là hình thoi khi và chỉ khi \[mp\left[ \alpha \right]\] qua điểm P [được xác định bởi [5]] đồng thời song song với cả AC và BD.