Đề bài
Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: \[\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{{{3^2}}};\dfrac{1}{{{3^3}}};\dfrac{1}{{{3^4}}};\dfrac{1}{{{3^5}}};...\]. Số hạng tổng quát của dãy số này là ?
A. \[{u_n} = \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{{{3^{n + 1}}}}\] \[[n\ge 1]\]
B. \[{u_n} = \dfrac{1}{{{3^{n + 1}}}}\]\[[n\ge 1]\]
C. \[{u_n} = \dfrac{1}{{{3^n}}}\]\[[n\ge 1]\]
D. \[{u_n} = \dfrac{1}{{{3^{n - 1}}}}\]\[[n\ge 1]\]
Câu 2: Xét xem dãy số \[[{u_n}]\]với \[{u_n} = \dfrac{{{2^n} - 1}}{3}\]có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định công bội.
A. \[q = 3\] B. \[q = 2\]
C. \[q = 4\] D. \[q = \emptyset \]
Câu 3: Dãy số \[[{u_n}]\] có phải là cấp số cộng hay không ? Nếu phải hãy xác định công sai biết: \[{u_n} = \dfrac{2}{n}\].
A. \[d = \emptyset \] B. \[d = \dfrac{1}{2}\]
C. \[d = - 3\] D. \[d = 1\]
Câu 4: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \[[{u_n}]\]biết :\[{u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }}\].
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm , bị chặn
D. Cả A,B,C đều sai
Câu 5: Cho cấp số nhân có \[{u_1} = - 3;q = \dfrac{2}{3}.\] Số \[\dfrac{{ - 96}}{{243}}\] là số hạng thứ mấy của cấp số này.
A. Thứ 5
B. Thứ 6
C. Thứ 7
D. Không phải là số hạng của cấp số
Câu 6: Xét tính bị chặn của các dãy số sau :\[{u_n} = 3n - 1\]
A. Bị chặn B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 7: Cho dãy số \[[{u_n}]\]: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2}\\{{u_n} = 3{u_{n - 1}} - 2,n = 2,3...}\end{array}} \right.\]. Viết 6 số hạng đầu của dãy :
A. \[{u_1} = 2,{u_2} = 5,{u_3} = 10,{u_4} = 28,{u_5} = 82,{u_6} = 244\]
B. \[{u_1} = 2,{u_2} = 4,{u_3} = 10,{u_4} = 18,{u_5} = 82,{u_6} = 244\]
C. \[{u_1} = 2,{u_2} = 4,{u_3} = 10,{u_4} = 28,{u_5} = 72,{u_6} = 244\]
D. \[{u_1} = 2,{u_2} = 4,{u_3} = 10,{u_4} = 28,{u_5} = 82,{u_6} = 244\]
Câu 8: Cho dãy số \[[{u_n}]\]với :\[{u_n} = a{.3^n}\] [ a là hằng số ]. Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. Dãy số có \[{u_{n + 1}} = a{.3^{n + 1}}\]
B. Hiệu số \[{u_{n + 1}} - {u_n} = 3a\]
C. Với a > 0 thì dãy số tăng
D. với a < 0 thì dãy số giảm
Câu 9: Xác định \[x\] để 3 số :\[1 + 2x;2{x^2} - 1; - 2x\] theo thứ tự lập thành cấp số cộng ?
A. \[x = \pm 3\]
B. \[x = \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\]
C. \[x = \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\]
D. Không có giá trị nào của x
Câu 10: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành cấp số cộng và có một góc bằng \[{25^o}\]. Tìm 2 góc còn lại ?
A. \[{65^0};{90^0}\] B. \[{75^0};{80^0}\]
C. \[{60^0};{95^0}\] D. \[{60^0};{90^0}\]
Câu 11: Cho cấp số cộng \[[{u_n}]\]thỏa :\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_5} + 3{u_3} - {u_2} = - 21}\\{3{u_7} - 2{u_4} = - 34}\end{array}} \right.\]. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;
A. \[{S_{15}} = - 244\] B. \[{S_{15}} = - 274\]
C. \[{S_{15}} = - 253\] D. \[{S_{15}} = - 285\]
Câu 12: Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của cấp số nhân đó.
A. \[{u_1} = \dfrac{2}{9};{u_2} = \dfrac{2}{5};{u_3} = 2;{u_5} = 18;{u_6} = 54;{u_7} = 162\]
B. \[{u_1} = \dfrac{2}{9};{u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = 2;{u_5} = 21;{u_6} = 54;{u_7} = 162\]
C. \[{u_1} = \dfrac{2}{7};{u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = 2;{u_5} = 18;{u_6} = 54;{u_7} = 162\]
D. \[{u_1} = \dfrac{2}{9};{u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = 2;{u_5} = 18;{u_6} = 54;{u_7} = 162\]
Câu 13: Cho dãy số \[[{u_n}]\] với \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = - 1}\\{{u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n}}}{2}}\end{array}} \right.\] Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là :
A. \[{u_n} = [ - 1].{\left[ {\dfrac{1}{2}} \right]^n}\]
B. \[{u_n} = [ - 1].{\left[ {\dfrac{1}{2}} \right]^{n + 1}}\]
C. \[u_n = -1\]
D. \[{u_n} = [ - 1].{\left[ {\dfrac{1}{2}} \right]^{n - 1}}\]
Câu 14: Cho cấp số nhân \[[{u_n}]\]thỏa mãn: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \dfrac{2}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right.\]. Số \[\dfrac{2}{{6561}}\] là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số?
A. 41 B. 12
C. 9 D. 3
Câu 15: Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. \[{a^2} + {c^2} = 2ab + 2bc + 2ac\]
B. \[{a^2} - {c^2} = 2ab + 2bc - 2ac\]
C. \[{a^2} + {c^2} = 2ab + 2bc - 2ac\]
D. \[{a^2} - {c^2} = 2ab - 2bc + 2ac\]
Câu 16: Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:
A. \[1;\,\,0,2;\,\,0,04;\,\,0,08;...\]
B. \[2;\,\,22;\,\,222;\,\,2222;...\]
C. \[x;\,\,2x;\,\,3x;\,\,4x;...\]
D. \[1;\,\, - {x^2};\,\,{x^4};\,\, - {x^6};...\]
Câu 17: Cho cấp số nhân có \[{u_2} = \dfrac{1}{4};{u_5} = 16\]. Tìm \[q,{u_1}\]
A. \[q = \dfrac{1}{2};{u_1} = \dfrac{1}{2}\]
B. \[q = \dfrac{{ - 1}}{2};{u_1} = \dfrac{{ - 1}}{2}\]
C. \[q = 4;{u_1} = \dfrac{1}{{16}}\]
D. \[q = - 4;{u_1} = \dfrac{{ - 1}}{{16}}\]
Câu 18: Tính tổng \[{S_n} = 1 + 11 + 111 + ... + 11...11\] [có \[10\] chữ số \[1\]]
A.\[\dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}\]
B. \[\dfrac{{{{10}^{10}} - 100}}{{81}}\]
C. \[\dfrac{{{{10}^9} - 100}}{{81}}\]
D. \[\dfrac{{{{10}^8} - 100}}{{81}}\]
Câu 19: Cho hai số \[x\] và \[y\] biết các số \[x - y;x + y;3x - 3y\] theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số \[x - 2;y + 2;2x + 3y\] theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Tìm \[x;y\]:
A.\[x = 3;y = 1\]
B. \[x = 3;y = 1\] hoặc \[x = - \dfrac{{16}}{{13}};y = - \dfrac{2}{3}\]
C. \[x = 3;y = 1\] hoặc \[x = \dfrac{{ - 6}}{{13}};y = - \dfrac{2}{{13}}\]
D. \[x = 3;y = 1\] hoặc \[x = - \dfrac{{16}}{3};y = \dfrac{2}{3}\]
Câu 20: Tìm \[x\] biết \[1,{x^2},6 - {x^2}\]lập thành cấp số nhân
A. \[x = \pm 1\] B. \[x = \pm \sqrt 2 \]
C. \[x = \pm 2\] D. \[x = \pm \sqrt 3 \]
Câu 21: Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân \[0,5m\]. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm \[21\] bậc, mỗi bậc cao \[18cm\]. Ký hiệu \[{h_n}\] là độ cao của bậc thứ \[n\] so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao \[{h_n}\].
A. \[{h_n} = 0,18n + 0,32\,\,\left[ m \right]\]
B. \[{h_n} = 0,18n + 0,5\,\,\left[ m \right]\]
C. \[{h_n} = 0,5n + 0,18\,\,\left[ m \right]\]
D. \[{h_n} = 0,5n - 0,32\,\,\left[ m \right]\]
Câu22: Cho cấp số cộng có tổng của \[4\] số hạng liên tiếp bằng \[22\], tổng bình phương của chúng bằng \[166\]. Bốn số hạng của cấp số cộng này là:
A. \[1,4,7,10\] B. \[1,4,5,10\]
C. \[2,3,5,10\] D. \[2,3,4,5\]
Câu 23: Cho cấp số cộng \[[{u_n}]\] thỏa mãn: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_7} - {u_3} = 8}\\{{u_{2.}}{u_7} = 75}\end{array}} \right.\] . Tìm \[{u_1};d\] ?
A.\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = 2}\\{{u_1} = 2,{u_1} = - 17}\end{array}} \right.\]
B. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = 2}\\{{u_1} = 3,{u_1} = - 7}\end{array}} \right.\]
C. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = 2}\\{{u_1} = - 3,{u_1} = - 17}\end{array}} \right.\]
D. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = 2}\\{{u_1} = 3,{u_1} = - 17}\end{array}} \right.\]
Câu 24: Cho tổng \[{S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left[ {n + 1} \right]}}\]. Mệnh đề nào đúng?
A. \[{S_n} = \dfrac{1}{{n + 1}}\]
B. \[{S_n} = \dfrac{n}{{n + 1}}\]
C. \[{S_n} = \dfrac{n}{{n + 2}}\]
D. \[{S_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2}}\]
Câu 25: Cho dãy số \[\left[ {{x_n}} \right]\]với \[{x_n} = \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}}\]. Dãy số \[\left[ {{x_n}} \right]\] là dãy số tăng khi:
A. a = 2 B. a > 2
C. a < 2 D. a > 1
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| C | D | A | C | B |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | D | B | C | C |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| D | D | D | C | C |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| D | C | A | C | B |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| B | A | D | B | B |
Câu 1. Ta có dãy số trên là cấp số nhân với \[{u_1} = \dfrac{1}{3};q = \dfrac{1}{3}\]
\[\Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{3}.{\left[ {\dfrac{1}{3}} \right]^{n - 1}} = \dfrac{1}{{{3^n}}}\]
Chọn C.
Câu 2. Ta có
\[\left. \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{{{2^1} - 1}}{3} = \dfrac{1}{3}\\{u_2} = \dfrac{{{2^2} - 1}}{3} = 1\\{u_3} = \dfrac{{{2^3} - 1}}{3} = \dfrac{7}{3}\end{array} \right\} \Rightarrow \left[ {1:\dfrac{1}{3}} \right] \ne \dfrac{7}{3}\]
Vậy \[[{u_n}]\] không phải là cấp số nhân nên không tồn tại q.
Chọn D.
Câu 3. Ta có
\[\left. \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{2}{1} = 2\\{u_2} = \dfrac{2}{2} = 1\\{u_3} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{1}{2} \ne \dfrac{2}{3}\]
Vậy \[[{u_n}]\] không phải là cấp số cộng nên không tồn tại d.
Chọn A.
Câu 4. Ta có
\[\begin{array}{l}\forall n \in {N^*},n < n + 1 \Rightarrow \sqrt {1 + n + {n^2}} \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }} > \dfrac{1}{{\sqrt {1 + [n + 1] + {{[n + 1]}^2}} }} \Rightarrow {u_n} > {u_{n + 1}}\end{array}\]
Mặt khác\[\sqrt {{{\left[ {n + \dfrac{1}{4}} \right]}^2} + \dfrac{3}{4}} \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \] \[\Rightarrow 0 < {u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }} \le \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\]
Chọn C.
Câu 5. Ta có \[{u_n} = [ - 3].{\left[ {\dfrac{2}{3}} \right]^{n - 1}} = \dfrac{{ - 96}}{{243}}\]
\[\Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{2}{3}} \right]^{n - 1}} = \dfrac{{32}}{{243}} \]
\[\Leftrightarrow n - 1 = 5 \Leftrightarrow n = 6\]
Chọn B.
Câu 6. Xét \[{u_{n + 1}} - {u_n} = 3[n + 1] - 1 - [3n - 1] = 3 > 0\].
Dãy số trên tăng nên \[{u_n} = 3n - 1 \ge 2,\forall n \ge 1\]
Chọn D.
Câu 7. Ta có
\[{u_2} = 3.2 - 2 = 4;\]
\[{u_3} = 3.4 - 2 = 10;\]
\[{u_4} = 3.10 - 2 = 28;\]
\[{u_5} = 3.28 - 2 = 82;\]
\[{u_6} = 3.82 - 2 = 244;\]
Chọn D.
Câu 9. Ta có
\[\begin{array}{l}\dfrac{{1 + 2x - 2x}}{2} = 2{x^2} - 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} + 1 = 2{x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{3}{4} \\\Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array}\]
Chọn B.
Câu 10. Gọi số đo hai góc còn lại lần lượt là x và y \[\left[ {0 < x < y < {{180}^ \circ }} \right]\]
Áp dụng tổng 3 góc trong một tam giác bằng \[{180^ \circ }\] ta có \[x + y + {25^ \circ } = {180^ \circ } \Leftrightarrow x + y = {155^ \circ }\]
Mặt khác, 3 góc này lại lập thành cấp số cộng nên \[{25^ \circ }\] là góc bé nhất
Suy ra
\[\begin{array}{l}x + y + {25^ \circ } = {180^ \circ }\\ \Leftrightarrow x + y = {155^ \circ }\\\left\{ \begin{array}{l}x + y = {155^ \circ }\\x = \dfrac{{{{25}^ \circ } + y}}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {155^ \circ }\\2x - y = {25^ \circ }\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {60^ \circ }\\y = {95^ \circ }\end{array} \right.\end{array}\]
Chọn C.
Câu 11. Ta có
\[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_5} + 3{u_3} - {u_2} = - 21}\\{3{u_7} - 2{u_4} = - 34}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3[{u_1} + 2d] - {u_1} - d = - 21\\3[{u_1} + 6d] - 2[{u_1} + 3d] = - 34\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u_1} + 9d = - 21\\{u_1} + 12d = - 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = - 3\end{array} \right.\end{array}\]
Khi đó \[{S_{15}} = n{u^1} + \dfrac{{n[n - 1]}}{2}d = 15.2 + \dfrac{{15.14}}{2}.[ - 3] = - 285\]
Chọn D.
Câu 12. Ta có
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 6\\{u_7} = 243{u_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = 6\\{u_1}{q^6} = 243{u_1}q\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{2}{9}\\q = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow {u_n} = \dfrac{2}{9}{.3^{n - 1}}\]
|
\[{u_2} = \dfrac{2}{9}{.3^1} = \dfrac{2}{3};\] |
\[{u_3} = \dfrac{2}{9}{.3^2} = 2;\] |
\[{u_5} = \dfrac{2}{9}{.3^4} = 18;\] |
|
\[{u_6} = \dfrac{2}{9}{.3^5} = 54\]; |
\[{u_7} = \dfrac{2}{9}{.3^6} = 162.\] |
Chọn D.
Câu 13. Ta có
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = - 1}\\\begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{{ - 1}}{2}\\{u_3} = \dfrac{{ - 1}}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{ - 1}}{4}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\q = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow {u_n} = [ - 1].{\left[ {\dfrac{1}{2}} \right]^{n - 1}}\]
Chọn D.
Câu 14.
\[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \dfrac{2}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \dfrac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 234{u_1}{q^7}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow {u_n} = 2.{\left[ {\dfrac{1}{3}} \right]^{n - 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{6561}} = 2.{\left[ {\dfrac{1}{3}} \right]^{n - 1}} \\\Leftrightarrow n - 1 = 8 \Leftrightarrow n = 9\end{array}\]
Chọn C.
Câu 15. Ta có
\[\begin{array}{c}b = \dfrac{{a + c}}{2} \Leftrightarrow a + c = 2b \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 4{b^2} - 2ac\\ \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2b[a + c] - 2ac\\ \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2ab + 2bc - 2ac\end{array}\]
Chọn C.
Câu 17. Ta có
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{1}{4}\\{u_5} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q = \dfrac{1}{4}\\{u_1}{q^4} = 16\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q = \dfrac{1}{4}\\{q^3} = 64\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{{16}}\\q = 4\end{array} \right.\]
Chọn C.
Câu 18. Ta có
\[\begin{array}{c}{S_n} = 1 + 11 + 111 + ... + \underbrace {11...11}_{10}\\9{S_n} = 9 + 99 + 999 + ... + \underbrace {99...99}_{10}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = [10 - 1] + [100 - 1] + [1000 - 1] + ... + [{10^{10}} - 1]\\ = \dfrac{{10[1 - {{10}^{10}}]}}{{1 - 10}} - 10 = \dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{9}\\{S_n} = \dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}\end{array}\]
Chọn A.
Câu 19. Ta có
\[\begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{l}x + y = \dfrac{{x - y + 3x - 3y}}{2}\\{[y + 2]^2} = \left[ {x - 2} \right][2x + 3y]\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\26{y^2} - 22y - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = \dfrac{{ - 2}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 6}}{{13}}\\y = \dfrac{{ - 2}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\]
Chọn C.
Câu 20. Ta có \[\begin{array}{c}{x^4} = 1.\left[ {6 - {x^2}} \right] \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} - 6 = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2\\{x^2} = - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \end{array}\]
Chọn B.
Câu 21. Độ cao của bậc thang so với mặt sân lập thành cấp số cộng với \[{u_1} = 0,5;d = 0,18 \Leftrightarrow {h_n} = 0,5 + 0,18n\]
Chọn B.
Câu 22. Gọi bốn số hạng liên tiếp của cấp số cộng là x; y; z; t. Khi đó:
\[\begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t = 22\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} = 166\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 6d = 22\\{x^2} + {\left[ {x + d} \right]^2} + {\left[ {x + 2d} \right]^2} + {\left[ {x + 3d} \right]^2} = 166\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = \dfrac{{11 - 2x}}{3}\\\dfrac{{20}}{9}{x^2} - \dfrac{{220}}{9}x + \dfrac{{200}}{9} = 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = \dfrac{{11 - 2x}}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 10\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\d = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\d = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 1;4;7;10\end{array}\]
Chọn A.
Câu 23.Ta có
\[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_7} - {u_3} = 8}\\{{u_{2.}}{u_7} = 75}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 6d - {u_1} - 2d = 8\\\left[ {{u_1} + d} \right]\left[ {{u_1} + 6d} \right] = 75\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\\left[ {{u_1} + 2} \right]\left[ {{u_1} + 12} \right] = 75\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_1} = - 17\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\]
Chọn D.
Câu 24. Ta có
\[\begin{array}{c}{S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left[ {n + 1} \right]}}\\ = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n - 1}}\\ = 1 - \dfrac{1}{{n - 1}} = \dfrac{n}{{n - 1}}\end{array}\]
Chọn B.
Câu 25. Ta có \[\begin{array}{l}{x_n} = \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}} = a + \dfrac{{ - 2a + 4}}{{n + 2}}\\ \Rightarrow {x_{n + 1}} - {x_n} = \left[ { - 2a + 4} \right]\left[ {\dfrac{1}{{n + 3}} - \dfrac{1}{{n + 2}}} \right] = \dfrac{2a - 4}{[n+3][n+2]}\end{array}\]
Để dãy số tăng thì \[2a - 4 > 0 \Leftrightarrow a > 2\]
Chọn B.