Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A [AB < AC]. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
a] Chứng minh tứ giác ANEB là hình thang vuông.
b] Chứng minh tứ giác ANEM là hình chữ nhật.
c] Đường thẳng song song với BN kẻ từ M cắt tia EN tại F. Chứng minh rằng tứ giác AFCE là hình thoi.
d] Gọi D là điểm đối xứng của E qua M. Chứng minh rằng A là trung điểm của DF.
Lời giải chi tiết
a] N, E lần lượt là trung điểm của AC và BC [gt];
\[ \Rightarrow NE\] là đường trung bình của tam giác ABC.
\[ \Rightarrow NE//AB \Rightarrow \] Tứ giác ANEB là hình thang.
Mà \[\widehat {NAB} = {90^0}\] [\[\Delta ABC\] vuông tại A]
Do đó tứ giác ANEB là hình thang vuông.
b] M, E lần lượt là trung điểm của AB và BC [gt];
\[ \Rightarrow ME\] là đường trung bình của tam giác ABC \[ \Rightarrow ME//AC \Rightarrow ME//AN\,\,\left[ {N \in AC} \right]\]
Mà \[AM//NE\,\,\left[ {AB//NE,\,\,M \in AB} \right]\] nên tứ giác AMEN là hình bình hành.
Hình bình hành AMEN có \[\widehat {MAN} = {90^0}\] nên là hình chữ nhật.
Tứ giác BMFN có: MF // BN [gt] và BM // FN [AB // NE, \[M \in AB,\,\,F \in EN\]]
Do đó tứ giác BMFN là hình bình hành \[ \Rightarrow BM = FN\].
Mặt khác \[NE = AM\] [Tứ giác ANEM là hình chữ nhật] và \[AM = BM\]. Do đó \[FN = NE\].
Tứ giác AFCE có N là trung điểm của AC, EF \[ \Rightarrow \] Tứ giác AFCE là hình bình hành.
Mà \[AC \bot EF\], do đó tứ giác AFCE là hình thoi [dấu hiệu nhận biết hình thoi]
d] Tứ giác ADBE có DE và AB cắt nhau tại M [gt]
M là trung điểm của AB [gt]
M là trung điểm của DE [D đối xứng với E qua M]
Do đó tứ giác ADBE là hình bình hành \] \Rightarrow AD//BE\]
Mà AF // EC [ do AECF là hình thoi] do đó AD, AF trùng nhau [tiên đề Ơ-clit]
\[ \Rightarrow A,D,F\] thẳng hàng \[\Rightarrow A \in DF\,\,\left[ 1 \right]\]
Mặt khác, ADBE là hình bình hành
\[ \Rightarrow AF = EC\] [AECF là hinh thoi] và \[BE = EC\] [E là trung điểm của BC] \[ \Rightarrow AD = AF\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra A là trung điểm của DF.