Bạn đang xem tài liệu "Đề thi giao lưu học sinh giỏi huyện cấp THCS môn Toán Lớp 8 - Phòng giáo dục và đào tạo Vĩnh Bảo [Có đáp án]", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Nội dung text: Đề thi giao lưu học sinh giỏi huyện cấp THCS môn Toán Lớp 8 - Phòng giáo dục và đào tạo Vĩnh Bảo [Có đáp án]
- UBND HUYỆN VĨNH BẢO ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN TOÁN 8 [Đề có 1 trang] Thời gian làm bài 150 phút Bài 1. [3 điểm] a]Phân tích đa thức a2 [b c] b2 [c a] c2 [a b] thành nhân tử. b]Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:[a b c]2 a2 b2 c2 . a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức: P= . a2 2bc b2 2ac c2 2ab c]Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2[x5 + y5 + z5] = 5xyz[x2 + y2 + z2]. Bài 2. [2 điểm] a] Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41 là hai số chính phương. 2 2 1 1 25 b] Cho a, b > 0 thỏa mãn a b 1 . Chứng minh a b . b a 2 Bài 3. [1 điểm] Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn. Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các tam giác đều BCE và DCF. Tính số đo góc EAF. Bài 4. [3 điểm] Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’, BB’, CC’ và H là trực tâm a] Chứng minh BC’.BA + CB’.CA=BC2 HB.HC HA.HB HC.HA b] Chứng minh rằng 1 AB.AC BC.AC BC.AB c] Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh H là trung điểm của MN. Bài 5. [1 điểm] Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng cùng có tính chất chia hình vuông này 2 thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng . Chứng minh rằng có ít nhất 505 đường thẳng trong 3 2018 đường thẳng trên đồng quy. Hết Giám thị số 1 Giám thị số 2
- UBND HUYỆN VĨNH BẢO GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP THCS PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 8 [Đề có 1 trang] Điểm Bài 1 Lời giải sơ lược chi Cộng tiết Bài 1 a] a2 [b c] b2 [c a] c2 [a b] = a2 [b c] b2 [a c] c2 [a b] 0,25 [ 3 điểm] = a2 [b c] b2 [a b] [b c] c2 [a b] 0,25 =[a2 b2 ][b c] [c2 b2 ][a b] = 1,0 [a b][a b[b c] [b c][b c][a b] 0,25 =[a b][b c][a b b c] = [a b][b c][a c] 0,25 b] [a+b+c]2= a2 b2 c2 ab ac bc 0 a2 a2 a2 0,25 a2 2bc a2 ab ac bc [a b][a c] b2 b2 c2 c2 Tương tự: ; 0,25 b2 2ac [b a][b c] c2 2ac [c a]c b] a2 b2 c2 1,0 P a2 2bc b2 2ac c2 2ab a2 b2 c2 0,25 [a b][a c] [a b][b c] [a c][b c] [a b][a c][b c] 1 0,25 [a b][a c][b c] c] Vì x + y + z = 0 nên x + y = –z [x + y]3 = –z3 0,25 Hay x3 + y3 + 3xy[x + y] = –z3 3xyz = x3 + y3 + z3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 Do đó : 3xyz[x + y + z ] = [x + y + z ][x + y + z ] 0,25 = x5 + y5 + z5 + x3[y2 + z2] + y3[z2 + x2] + z3[x2 + y2] 2 2 2 2 Mà x + y = [x + y] – 2xy = z – 2xy [vì x + y = –z]. 1,0 Tương tự:y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx. 2 2 2 Vì vậy : 3xyz[x + y + z ] 0,25 = x5 + y5 + z5 + x3[x2 – 2yz] + y3[y2 – 2zx] + z3[z3 – 2xy] = 2[x5 + y5 + z5] – 2xyz[x2 + y2 + z2] 0,25 Suy ra : 2[x5 + y5 + z5] = 5xyz[x2 + y2 + z2 Bài 3 a] Để n 18 và n 41 là hai số chính phương n 18 p2 và n 41 q2 p,q N 0,25 p2 q2 n 18 n 41 59 p q p q 59 0,25 p q 1 p 30 1,0 Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: p q 59 q 29 0,25 Từ n 18 p2 302 900 suy ra n 882 Thay vào n 41 , ta được 882 41 841 292 q2 . 0,25
- Vậy với n 882 thì n 18 và n 41 là hai số chính phương. b] Có: a b 2 0 a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab [*] 0,25 [Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b] 2 1 25 1 Áp dụng [*], có: a 5 a b 4 b 2 1 25 1 b 5 b a 4 a 2 2 1 1 25 1 1 Suy ra: a b 5 a b b a 2 b a 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 a b b a 2 a b 1,0 2 2 1 1 25 1 1 0,25 a b 5 5. [ Vì a+b = 1] b a 2 a b 1 1 4 Với a, b dương, chứng minh 4 [Vì a+b = 1] a b a b 0,25 [Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b] 2 2 1 1 25 Ta được: a b 5 5.4 b a 2 2 2 1 1 25 1 0,25 a b Dấu đẳng thức xảy ra: a b b a 2 2 Bài 3 A D C B F E Chứng minh được ·ABE E· CF 0,25 Chứng minh được ABE FCE[c g c] 0,25 =>AE=EF Tương tự AF=EF 0,25 1,0 =>AE=EE=AF =>Tam giác AEF đều 0,25 => E· AF 60o
- Bài 4 [3 điểm] A B' N C' H M B A' D C a]Chứng minh BHC ' đồng dạng với BAB ' BH BC ' 0,25 => =>BH.BB' BC '.BA [1] AB BB ' Chứng minh BHA'đồng dạng với BCB ' BH BA' 0,25 =>BH.BB' BC.BA' [2] 1,0 BC BB ' Từ [1] và [2] => BC '.BA BA'.BC 0,25 Tương tựCB'.CA CA'.BC => BC '.BA CB'.CA BA'.BC CA'.BC [BA' CA'].BC BC 2 0,25 BH BC ' BH.CH BC '.CH S b] Có => BHC AB BB ' AB.AC BB '.AC S ABC 0,25 AH.BH S AH.CH S Tương tự AHB và AHC CB.CA S CB.AB S ABC ABC 1,0 0,25 HB.HC HA.HB HC.HA S => ABC 1 0,5 AB.AC AC.BC BC.AB SABC c] Chứng minh được AHM đồng dạng với CDH [g-g] HM AH 0,25 => [3] HD CD Chứng minh được AHN đồng dạng với BDH [g-g] 0,25 AH HN => [4] 1,0 BD HD Mà CD=BD [gt] [5] HM HN Từ [3], [4], [5] => => HM=HN 0,25 HD HD =>H là trung điểm của MN 0,25
- Bài 5 [1 điểm] Gọi E, F, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC và AD. Lấy các điêrm I, G trên EF và K, H trên PQ thỏa mãn: 0,25 IE HP GF KQ 2 IF HQ GE KP 3 1,0 Xét d là một trong các đường thẳng bất kỳ đã cho cắt hai AD, BC, EFlần lượt tại M, N, G’. Ta có AB[BM AN] S 2 2 EG ' 2 ABMN 2 G G ' CD[CM DN] SCDNM 3 3 G 'F 3 2 0,25 hay d qua G Từ lập luận trên suy ra mỗi đường thẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài đều đi qua một trong 4 điểm G, H, I, K. Do có 2018 đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm G, H, I, K, theo 2018 0,25 nguyên lý Dirichlet phải tồn tại ít nhất 1 505 đường 4 thẳng cùng đi qua một điểm trong 4 điểm trên. Vậy có ít nhất 505 đường thẳng trong số 2018 đường thẳng đã cho đồng quy. 0,25