- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Cô Phạm Thị Huệ Chi [Giáo viên VietJack]
- Trắc nghiệm Bài 2 [có đáp án]: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:
Quảng cáo
+ Nếu hai phương trình có nghiệm chung là [x0; y0] thì [x0; y0] được gọi là một nghiệm của hệ phương trình [I].
+ Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì hệ phương trình [I] vô nghiệm.
+ Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:
Gọi [d] và [d'] là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của [I].
Đối với hệ phương trình [I], ta có:
Nếu [d] cắt [d'] thì hệ [I] có một nghiệm duy nhất.
Nếu [d] song song với [d'] thì hệ [I] vô nghiệm.
Nếu [d] trùng với [d'] thì hệ [I] có vô số nghiệm.
Ví dụ: Xét hệ phương trình
Do 3x - 2y = -6 ⇔ y = [3/2]x + 3 nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng [d1]: y = [3/2]x + 3.
Tương tự, tập nghiệm của phương trình thứ hai được biểu diễn bởi đường thẳng
Hai đường thẳng [d1] và [d2] có tung độ gốc khác nhau và cùng hệ số góc là 3/2 nên song song với nhau, chúng không có điểm chung. Khi đó hệ đã cho vô nghiệm.
Quảng cáo
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Ta dùng kí hiệu "⇔" để chỉ sự tương đương của hai hệ phương trình.
Ví dụ: hai hệ phương trình tương đương là
Câu 1: Cho hai hệ phương trình
Xét hệ [I] có [1; 0] là một cặp nghiệm của hệ [I]
Nhưng với cặp nghiệm [1; 0] lại không phải là nghiệm của hệ [II]
Khi đó hai hệ này không tương đương với nhau [dù cả hai hệ đều có vô số nghiệm]
Quảng cáo
Câu 2: Tìm giá trị a để hai hệ phương trình sau tương đương
Hệ [I] và [II] tương đương nhau nên nghiệm của hệ [I] cũng là nghiệm của hệ [II]
Khi đó ta có:
Vậy giá trị a cần tìm là a = 1
Các bài Tổng hợp Lý thuyết và Bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
a. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax + by = c [1], trong đó a; b; c là các số đã biết; $a\neq0$ hoặc $b\neq0$
Ví dụ: Các phương trình 2x - y = 1; 3x + 4y = 0; 0x + 2y = 4; x + 0y = 5 là những phương trình bậc nhất hai ẩn
b. Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Trong phương trình [1] nếu giá trị của vế trái tại $x=x_0;y=y_0$ bằng vế phải thì cặp số $[x_0;y_0]$ được gọi là một nghiệm của phương trình [1]
Ví dụ: Cặp số [3; 4] là một nghiệm của phương trình 2x - y = 2 vì 2.3 - 4 =2
Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình [1] được biểu diễn bởi 1 điểm. Nghiệm $[x_0;y_0]$ được biểu diễn bởi điểm có tọa độ $[x_0;y_0]$
c. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
- Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c [ $a\neq0$ hoặc $b\neq0$ ] luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, kí hiệu là [d]
- Nếu $a\neq0$ và $b\neq0$ thì đường thẳng [d] chính là đồ thị của hàm số bậc nhất $y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$
- Nếu $a\neq0$ và b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay $x=\frac{c}{a}$ và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục tung.
- Nếu a = 0 và $b\neq0$ thì phương trình trở thành by = c hay $y=\frac{c}{b}$ và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục hoành
Ví dụ: Phương trình 3x + y = 5 luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình này là $S=\left\{[x;5-3x]/ x\in R\right\}$
Phương trình 2x + 0y = 8 nghiệm đúng với mọi y và x = 4 nên nghiệm tổng quát của phương trình là $\begin{cases}x=4\\y\in R\end{cases}$
Phương trình 0x + 4y = 8 nghiệm đúng với mọi x và y = 2 nên nghiệm tổng quát của phương trình là $\begin{cases}x\in R\\y=2\end{cases}$
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
a. Khái niệm
Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\,\,\,[I]\,\,\,[a^2+b^2\neq0;a’^2+b’^2\neq0]$
Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung $[x_0;y_0]$ thì $[x_0;y_0]$ được gọi là một nghiệm của hệ [I]
Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ [I] vô nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm [tìm tập nghiệm] của nó.
Ví dụ: $\begin{cases}x+y =6\\2x-y=3\end{cases}$ là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Ta thấy cặp số [3; 3] là một nghiệm của phương trình trên vì $\begin{cases}3+3 =6\\2.3-3=3\end{cases}$
b. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho hệ phương trình $\begin{cases}ax+by=c\,\,\,[d]\\a’x+b’y=c’\,\,\,[d’]\end{cases}\,\,\,[I]\,\,\,[a^2+b^2\neq0;a’^2+b’^2\neq0]$
Nghiệm hệ phương trình [I] chính là số giao điểm của đường thẳng [d] và [d']
- Nếu [d] cắt [d'] thì $\frac{a}{a’}\neq\frac{b}{b’}$ Khi đó hệ [I] có một nghiệm duy nhất
- Nếu [d] song song với [d'] thì $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}\neq\frac{c}{c’}$ Khi đó hệ [I] vô nghiệm
- Nếu [d] trùng với [d'] thì $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}=\frac{c}{c’}$ Khi đó hệ [I] có vô số nghiệm
Ví dụ 1: Xét hệ phương trình $\begin{cases}x+y=3\\x-2y=0\end{cases}$
Ta có: a = 1; b = 1; c = 3; a' = 1; b' = - 2; c' = 0
Khi đó $\frac{a}{a’}\neq\frac{b}{b’}$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Hình vẽ minh họa
\n \n
Ví dụ 2: Xét hệ phương trình $\begin{cases}3x-2y=-6\\3x-2y=3\end{cases}$
Ta có: a = 3; b = -2; c = -6; a' = 3; b' = -2; c = 3
Khi đó $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}\neq\frac{c}{c’}$ nên hệ phương trình vô nghiệm
Hình vẽ minh họa
\n \n
Ví dụ 3. Xét hệ phương trình $\begin{cases}x-2y=-6\\-x+2y=6\end{cases}$
Ta có: a = 1; b = - 2; c = - 6; a' = -1; b' = 2; c' =6
Khi đó $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}=\frac{c}{c’}$ nên hệ phương trình vô số nghiệm
c. Hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu $\Leftrightarrow$
Ví dụ: $\begin{cases}2x+y=5\\x-2y=8\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2x+y=5\\3x-y=13\end{cases}$