Câu 1 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Qua phép tịnh tiến T theo vecto đường thẳng d biến thành đường thẳng d. Trong trường hợp nào thì : d trùng d ? d song song với d ? d cắt d ?
Giải
Nếu \[\overrightarrow u \] là vecto chỉ phương của d thì d trùng với d
Nếu \[\overrightarrow u \]không là vecto chỉ phương của d thì d // d
d không bao giờ cắt d
Câu 2 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai đường thẳng song song a và a. Tìm tất cả những phép tịnh tiến biến a thành a.
Giải
Lấy điểm A trên a thì với mỗi điểm A trên a, phép tịnh tiến theo vecto \[\overrightarrow {AA'} \] biến a thành a. Đó là tất cả những phép tịnh tiến cần tìm
Câu 3 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai phép tịnh tiến \[{T_{\overrightarrow u }}\,\text{ và }\,{T_{\overrightarrow v }}\].Với điểm M bất kì, \[{T_{\overrightarrow u }}\]biến M thành điểm M,\[{T_{\overrightarrow v }}\] biến M thành điểm M. Chứng tỏ rằng phép tịnh tiến biến M thành M là một phép tịnh tiến.
Giải
Ta có :
\[\eqalign{
& {T_{\overrightarrow u }}:M \to M' \cr
& {T_{\overrightarrow v }}:M' \to M \cr} \]
Suy ra :\[\overrightarrow {MM'} = u,\overrightarrow {M'M} = \overrightarrow v \]
Do đó : \[\overrightarrow {MM} = \overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'M} = \overrightarrow u + \overrightarrow v \]
Câu 4 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho đường tròn [O] và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn [O]. Tìm quỹ tích điểm M sao cho \[\overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} .\]
Giải
Ta có \[\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AB} \] nên phép tịnh tiến T theo vecto \[\overrightarrow {AB} \] biến M thành M. Nếu gọi O là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức \[\overrightarrow {OO'} = \overrightarrow {AB} \] thì quỹ tích M là đường tròn tâm O có bán kính bằng bán kính đường tròn [O].
Câu 5 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với \[\alpha ,a,b\]là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thành điểm \[M'\left[ {x';y'} \right]\], trong đó
\[\left\{ {\matrix{{x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha + a} \cr {y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha + b} \cr} } \right.\]
a. Cho hai điểm \[M\left[ {{x_1};{y_1}} \right],\,N\left[ {{x_2};{y_2}} \right]\] và gọi M', N' lần lượt là ảnh của M,N qua phép F. Hãy tìm tọa độ của M' và N'
b. Tính khoảng cách d giữa M và N; khoảng cách d' giữa M' và N'
c. Phép F có phải là phép dời hình hay không ?
d. Khi \[\alpha = 0\], chứng tỏ rằng F là phép tịnh tiến
Giải
a] M có tọa độ \[{[x_1},{\rm{ }}y{_1}]\]với \[\left\{ {\matrix{{x{'_1} = {x_1}\cos \alpha - {y_1}\sin \alpha + a} \cr {y{'_1} = {x_1}\sin \alpha + {y_1}\cos \alpha + b} \cr} } \right.\]
N có tọa độ \[{[x_2},{\rm{ }}y{_2}]\]với \[\left\{ {\matrix{{x{'_2} = {x_2}\cos \alpha - {y_2}\sin \alpha + a} \cr {y{'_2} = {x_2}\sin \alpha + {y_2}\cos \alpha + b} \cr} } \right.\]
b] Ta có \[d=MN=\sqrt {{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}} \]
\[\eqalign{
& d' = M'N' = \sqrt {{{\left[ {x{'_1} - x{'_2}} \right]}^2} + {{\left[ {y{'_1} - y{'_2}} \right]}^2}} \cr
& = \sqrt {{{\left[ {\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]\cos \alpha - \left[ {{y_1} - {y_2}} \right]\sin \alpha } \right]}^2} + {{\left[ {\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]\sin \alpha + \left[ {{y_1} - {y_2}} \right]\cos \alpha } \right]}^2}} \cr
& = \sqrt {{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2}{{\cos }^2}\alpha + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}{{\cos }^2}\alpha } \cr
& = \sqrt {{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}} \cr} \]
c] Từ câu b suy ra \[MN=M'N'\] do đó \[F\] là phép dời hình.
d]
\[Khi\,\,\alpha = 0,\,\,\text{ ta có }\,\,\left\{ \matrix{
x' = x + a \hfill \cr
y' = y + b \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[F\] là phép tịnh tiến vectơ \[\overrightarrow u \left[ {a;b} \right].\]
Câu 6 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong mặt phẳng tọa độ , xét các phép biến hình sau đây:
- Phép biến hình \[{F_1}\] biến mỗi điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thành điểm \[M'\left[ {y; - x} \right]\]
- Phép biến hình \[{F_2}\]biến mỗi điểm \[M\left[ {x;y} \right]\]thành điểm \[M'\left[ {2x;y} \right]\]
Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình ?
Giải
Lấy hai điểm bất kì \[M = [{x_1};{\rm{ }}{y_1}]\]và \[N[{x_2};{y_2}]\]khi đó
\[MN = \sqrt {{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}} \]
Ảnh của M, N qua F1 lần lượt là \[M' = [{y_1}; - {x_1}]\]và \[N'= [{y_2}; - {x_2}]\]
Như vậy ta có: \[M'N' = \sqrt {{{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2} + {{\left[ { - {x_1} + {x_2}} \right]}^2}} \]
Suy ra \[MN = MN\], vậy F1 là phép dời hình
Ảnh của M, N qua F2 lần lượt là \[M' = [2{x_1};{\rm{ }}{y_1}]\]và \[N' = [2{x_2};{y_2}]\]
Như vậy ta có: \[M'N' = \sqrt {4{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}} \]
Từ đó suy ra : nếu \[{x_1} \ne {x_2}\] thì \[MN MN\], vậy F2 không phải là phép dời hình