Bài 1 trang 126 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng
a] \[{n^5} - n\]chia hết cho 5 với mọi \[n \in N*\];
b] Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9 ;
c] \[{n^3} - n\]chia hết cho 6 với mọi \[n \in N*\];
Giải:
a] HD: Xem ví dụ 1, .
b] HD: Đặt \[{A_n} = {n^3} + {\left[ {n + 1} \right]^3} + {\left[ {n + 2} \right]^3}\]dễ thấy \[{A_1} \vdots 9\]
Giả sử đã có \[{A_1} \vdots 9\]với \[k \ge 1\].Ta phải chứng minh \[{A_{k + 1}} \vdots 9\]
Tính \[{A_{k + 1}} = {A_k} + 9{k^2} + 27k + 27\]
c] Làm tương tự như 1.a].
Bài 2 trang 127 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Chứng minh các đẳng thức sau với n N*
a] \[{A_n} = {1 \over {1.2.3}} + {1 \over {2.3.4}} + ... + {1 \over {n\left[ {n + 1} \right]\left[ {n + 2} \right]}} = {{n\left[ {n + 3} \right]} \over {4\left[ {n + 1} \right]\left[ {n + 2} \right]}}\];
b] \[{B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + {{n\left[ {n + 1} \right]} \over 2} = {{n\left[ {n + 1} \right]\left[ {n + 2} \right]} \over 6}\];
c] \[{S_n} = \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx = {{\sin {{nx} \over 2}.\sin {{\left[ {n + 1} \right]x} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}\]
Giải:
a] HD: Kiểm tra với n = 1 sau đó biểu diễn
\[{A_{k + 1}} = {A_k} + {1 \over {\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]\left[ {k + 3} \right]}}\]
b] HD: Kiểm tra với n = 1
Giả sử đã cho \[{B_k} = {{k\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]} \over 2}\]
Ta cần chứng minh
\[{B_{k + 1}} = {{\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]\left[ {k + 3} \right]} \over 2}\]bằng cách tính \[{B_{k + 1}} = {B_k} + {{\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]} \over 2}\]
c] HD: Kiểm tra với n = 1
Giả sử đã có \[{S_k} = {{\sin {{kx} \over 2}.\sin {{\left[ {k + 1} \right]} \over 2}x} \over {\sin {x \over 2}}}\]
Viết \[{S_{k + 1}} = {S_k} + \sin \left[ {k + 1} \right]x\]sử dụng giả thiết quy nạp và biến đổi ta có
\[{S_{k + 1}} = {{\sin {{\left[ {k + 1} \right]x} \over 2}.\sin {{\left[ {k + 2} \right]} \over 2}x} \over {\sin {x \over 2}}}\left[ {đpcm} \right]\]
Bài 3 trang 127 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Chứng minh các bất đẳng thức sau
a] \[{3^{n - 1}} > n\left[ {n + 2} \right]\]với \[n \ge 4\];
b] \[{2^{n - 3}} > 3n - 1\]với \[n \ge 8\]
Giải:
a] Với n = 4 thì \[{3^{4 - 1}} = 27 > 4\left[ {4 + 2} \right] = 24\]
Giả sử đã có
\[{3^{k - 1}} > k\left[ {k + 2} \right]\]với \[k \ge 4\] [1]
Nhân hai vế của [1] với 3, ta có
\[\eqalign{
& {3.3^{k - 1}} = {3^{\left[ {k + 1} \right] - 1}} > 3k\left[ {k + 2} \right] \cr
& {\rm{ = }}\left[ {k + 1} \right]\left[ {\left[ {k + 1} \right] + 2} \right] + 2{k^2} + 2k - 3 \cr} \]
Do \[2{k^2} + 2k - 3 > 0\]nên \[{3^{\left[ {k + 1} \right] - 1}} > \left[ {k + 1} \right]\left[ {\left[ {k + 1} \right] + 2} \right]\]chứng tỏ bất đẳng thức đúng vớin = k + 1
b] Giải tương tự câu a].
Bài 4 trang 127 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Cho dãy số \[\left[ {{u_n}} \right] \] :
\[{\rm{ }}\left\{ \matrix{
{u_1} = 1,{u_2} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1{\rm\,\,{ với\,\, n}} \ge {\rm{2}} \hfill \cr} \right.\]
a] Viết năm số hạng đầu của dãy số ;
b] Lập dãy số \[\left[ {{v_n}} \right] \]với \[{v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\].Chứng minh dãy số \[\left[ {{v_n}} \right] \]là cấp số cộng ;
c] Tìm công thức tính \[\left[ {{u_n}} \right] \]theo n.
Giải:
a] Năm số hạng đầu là 1, 2, 4, 7, 11
b] Từ công thức xác định dãy số ta có
\[{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1\]hay \[{u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 1\] [1]
Vì \[{v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\]nên từ [1], ta có
\[{v_n} = {v_{n - 1}} + 1\]với \[n \ge 2\] [2]
Vậy \[\left[ {{v_n}} \right] \]là cấp số cộng với \[{v_1} = {u_2} - {u_1} = 1\]công sai d = 1
c] Để tính \[\left[ {{u_n}} \right] \]ta viết
\[\eqalign{
& {v_1} = 1 \cr
& {v_2} = {u_3} - {u_2} \cr
& {v_3} = {u_4} - {u_3} \cr
& ... \cr
& {v_{n - 2}} = {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}} \cr
& {v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}} \cr}\]
Cộng từng vế n - 1 hệ thức trên và rút gọn, ta được
\[{v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 - {u_2} + {u_n} = 1 - 2 + {u_n} = {u_{n - 1}}\]suy ra
\[{u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 + {{n\left[ {n - 1} \right]} \over 2}\]