Câu 1 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0 :
a. \[{{{{\left[ { - 1} \right]}^n}} \over {n + 5}}\]
b. \[{{\sin n} \over {n + 5}}\]
c. \[{{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}}\]
Giải:
a. Ta có:
\[\left| {{{{{\left[ { - 1} \right]}^n}} \over {n + 5}}} \right| = {1 \over {n + 5}} < {1 \over n}\,\text{ và }\,\lim {1 \over n} = 0 \Rightarrow \lim {{{{\left[ { - 1} \right]}^n}} \over {n + 5}} = 0\]
b. \[\left| {{{\sin n} \over {n + 5}}} \right| \le {1 \over {n + 5}} < {1 \over n}\,\text{ và }\,\lim {1 \over n} = 0 \Rightarrow \lim {{\sin n} \over {n + 5}} = 0\]
c. \[\left| {{{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}}} \right| \le {1 \over {\sqrt n + 1}} < {1 \over {\sqrt n }},\lim{1 \over {\sqrt n }} = 0 \Rightarrow \lim {{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}} = 0\]
Câu 2 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng hai dãy số [un] và [vn] với
\[{u_n} = {1 \over {n\left[ {n + 1} \right]}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{v_n} = {{{{\left[ { - 1} \right]}^n}\cos n} \over {{n^2} + 1}}\]
Có giới hạn 0.
Giải:
Ta có:
\[\eqalign{
& \left| {{u_n}} \right| = {1 \over {n\left[ {n + 1} \right]}} < {1 \over n}\,\text{ và }\,\lim {1 \over n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr
& \left| {{v_n}} \right| = \left| {{{{{\left[ { - 1} \right]}^n}\cos n} \over {{n^2} + 1}}} \right| = {{\left| {\cos n} \right|} \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over {{n^2} + 1}} < {1 \over {{n^2}}}\,\text{ và }\,\lim {1 \over {{n^2}}} = 0 \cr
& \Rightarrow \lim {v_n} = 0 \cr} \]
Câu 3 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng các dãy số [un] sau đây có giới hạn 0 :
a. \[{u_n} = {\left[ {0,99} \right]^n}\]
b. \[{u_n} = {{{{\left[ { - 1} \right]}^n}} \over {{2^n} + 1}}\]
c. \[{u_n} = - {{\sin {{n\pi } \over 5}} \over {{{\left[ {1,01} \right]}^n}}}\]
Giải:
a. Ta có:
\[\left| {0,99} \right| < 1\,\text{ nên }\,\lim {u_n} = \lim {\left[ {0,99} \right]^n} = 0\]
b.
\[\eqalign{
& \left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left[ { - 1} \right]}^n}} \over {{2^n} + 1}}} \right| = {1 \over {{2^n} + 1}} < {\left[ {{1 \over 2}} \right]^n},\lim {\left[ {{1 \over 2}} \right]^n} = 0 \cr
& \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr} \]
c.
\[\eqalign{
& \left| {{u_n}} \right| = {{\left| {\sin {{n\pi } \over 5}} \right|} \over {{{\left[ {1,01} \right]}^n}}} \le {\left[ {{1 \over {1,01}}} \right]^n},\lim {\left[ {{1 \over {1,01}}} \right]^n} = 0 \cr
& \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr} \]
Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số [un] với \[{u_n} = {n \over {{3^n}}}\]
a. Chứng minh rằng \[{{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {2 \over 3}\] với mọi n.
b. Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng \[0 < {u_n} \le {\left[ {{2 \over 3}} \right]^n}\] với mọi n.
c. Chứng minh rằng dãy số [un] có giới hạn 0.
Giải:
a. Ta có:
\[\eqalign{
& {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {{3^{n + 1}}}}:{n \over {{3^n}}} = {1 \over 3}.{{n + 1} \over n} \cr
& = {1 \over 3}\left[ {1 + {1 \over n}} \right] \le {2 \over 3},\forall n \ge 1. \cr} \]
b. Rõ ràng \[u_n> 0, n 1\].
Ta chứng minh \[{u_n} \le {\left[ {{2 \over 3}} \right]^n}\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
+] Với \[n = 1\] ta có \[{u_1} = {1 \over 3} \le {2 \over 3}\]
Vậy [1] đúng với \[n = 1\]
+] Giả sử [1] đúng với \[n = k\], tức là ta có :
\[{u_k} \le {\left[ {{2 \over 3}} \right]^k}\]
Khi đó \[{u_{k + 1}} \le {2 \over 3}{u_k}\] [theo câu a]
\[ \Rightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}.{\left[ {{2 \over 3}} \right]^k} = {\left[ {{2 \over 3}} \right]^{k + 1}}\]
Vậy [1] đúng với \[n = k + 1\] nên [1] đúng với mọi \[n\].
c. Ta có:
\[0 < {u_n} \le {\left[ {{2 \over 3}} \right]^n} \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| \le {\left[ {{2 \over 3}} \right]^n}\]
Mà \[\lim {\left[ {{2 \over 3}} \right]^n} = 0 \Rightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\]