Bài 1 trang 132 sgk đại số 11
Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
a]\[\underset{x\rightarrow 4}{lim}\frac{x+1}{3x - 2}\];
b]\[\underset{x \rightarrow +\infty }{lim}\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\].
Giải:
a] Hàm số \[f[x] = \frac{x +1}{3x - 2}\]xác định trên \[\mathbb R\backslash \left\{ {{2 \over 3}} \right\}\]và ta có \[x = 4 \in \left[ {{2 \over 3}; + \infty } \right]\]
Giả sử \[[x_n]\]là dãy số bất kì và \[x_n \left[ {{2 \over 3}; + \infty } \right]\]; \[x_n 4\] và \[x_n 4\] khi \[n \to + \infty \].
Ta có \[\lim f[x_n]= \lim \frac{x_{n} +1}{3x_{n} - 2} = \frac{4 + 1}{3. 4 - 2} = \frac{1}{2}\].
Vậy\[\underset{x\rightarrow 4}{\lim}\]\[\frac{x +1}{3x - 2}\]=\[\frac{1}{2}\].
b] Hàm số \[f[x]\] =\[\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\]xác định trên \[\mathbb R\].
Giả sử \[[x_n]\]là dãy số bất kì và \[x_n +\] khi \[n \to + \infty \]
Ta có \[\lim f[x_n] = \lim \frac{2-5x^{2}_{n}}{x^{2}_{n}+3}= \lim \frac{\frac{2}{x^{2}_{n}}-5}{1+\frac{3}{x^{2}_{n}}} = -5\].
Vậy\[\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\]\[\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3} = -5\].
Bài 2 trang 132 sgk đại số 11
Cho hàm số
\[f[x] = \left\{ \matrix{
\sqrt x + 1 \text{ nếu }x\ge 0 \hfill \cr
2x\text{ nếu }x < 0 \hfill \cr} \right.\]
Và các dãy số \[[u_n]\] với \[u_n=\frac{1}{n}\], \[[v_n]\] với \[v_n= -\frac{1}{n}\].
Tính \[\lim u_n\], \[\lim v_n\], \[\lim f [u_n]\] và \[\lim [v_n]\].
Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi \[x 0\] ?
Hướng dẫn giải:
Ta có \[\lim u_n\]=\[\lim \frac{1}{n}= 0\]; \[\lim v_n=\lim [-\frac{1}{n}] = 0\].
Do \[u_n=\frac{1}{n} > 0\] và \[v_n=-\frac{1}{n} < 0\] với \[ n\in {\mathbb N}^*\]
, nên \[f[u_n]=\sqrt{\frac{1}{n}}+1\] và \[f[v_n]= -\frac{2}{n}\].
Từ đó \[ \lim f[u_n]= \lim [\sqrt{\frac{1}{n}}+ 1] = 1\]; \[\lim f[v_n]= lim [-\frac{2}{n}] = 0\].
Vì \[u_n 0\] và \[v_n 0\], nhưng \[\lim f[u_n] \lim f[v_n]\] nên hàm số \[y = f[x]\] không có giới hạn khi
\[x 0\].
Bài 3 trang 132 sgk đại số 11
Tính các giới hạn sau:
a]\[\underset{x\rightarrow -3}{lim}\]\[\frac{x^{2 }-1}{x+1}\];
b]\[\underset{x\rightarrow -2}{lim}\]\[\frac{4-x^{2}}{x + 2}\];
c]\[\underset{x\rightarrow 6}{lim}\]\[\frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}\];
d]\[\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\]\[\frac{2x-6}{4-x}\];
e]\[\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\]\[\frac{17}{x^{2}+1}\];
f]\[\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\]\[\frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}\].
Hướng dẫn giải:
a]\[\underset{x\rightarrow -3}{lim}\]\[\frac{x^{2 }-1}{x+1}\]=\[\frac{[-3]^{2}-1}{-3 +1} = -4\].
b]\[\underset{x\rightarrow -2}{lim}\]\[\frac{4-x^{2}}{x + 2}\]=\[\underset{x\rightarrow -2}{lim}\]\[\frac{ [2-x][2+x]}{x + 2}\]=\[\underset{x\rightarrow -2}{lim} [2-x] = 4\].
c]\[\underset{x\rightarrow 6}{lim}\]\[\frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}\]=\[\underset{x\rightarrow 6}{lim}\]\[\frac{[\sqrt{x + 3}-3][\sqrt{x + 3}+3 ]}{[x-6] [\sqrt{x + 3}+3 ]}\]
=\[\underset{x\rightarrow 6}{lim}\]\[\frac{x +3-9}{[x-6] [\sqrt{x + 3}+3 ]}\]=\[\underset{x\rightarrow 6}{lim}\]\[\frac{1}{\sqrt{x+3}+3}\]=\[\frac{1}{6}\].
d]\[\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\]\[\frac{2x-6}{4-x}\]=\[\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\]\[\frac{2-\frac{6}{x}}{\frac{4}{x}-1} = -2\].
e]\[\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\]\[\frac{17}{x^{2}+1} = 0\] vì\[\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\] \[[x^2+ 1] =\] \[\underset{x\rightarrow +\infty }{lim} x^2[1 + \frac{1}{x^{2}}] = +\].
f]\[\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\]\[\frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}\]=\[\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\]\[\frac{-2+\frac{1}{x} -\frac{1}{x^{2}}}{\frac{3}{x^{2}} +\frac{1}{x}} = -\], vì\[\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{x} > 0\] với \[x>0\].
Bài 4 trang 132 sgk đại số 11
Tính các giới hạn sau:
a]\[\underset{x\rightarrow 2}{lim}\]\[\frac{3x -5}{[x-2]^{2}}\];
b]\[\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\]\[\frac{2x -7}{x-1}\];
c]\[\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\]\[\frac{2x -7}{x-1}\].
Hướng dẫn giải:
a] Ta có\[\underset{x\rightarrow 2}{\lim} [x - 2]^2=0\] và \[[x - 2]^2>0\] với \[x 2\] và\[\underset{x\rightarrow 2}{\lim} [3x - 5] = 3.2 - 5 = 1 > 0\].
Do đó\[\underset{x\rightarrow 2}{\lim}\]\[\frac{3x -5}{[x-2]^{2}} = +\].
b] Ta có\[\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim} [x - 1]=0\] và \[x - 1 < 0\] với \[x < 1\] và\[\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim} [2x - 7] = 2.1 - 7 = -5 0\] với \[x > 1\] và\[\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim} [2x - 7] = 2.1 - 7 = -5 < 0\].
Do đó\[\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\]\[\frac{2x -7}{x-1}= -\].