Bài 1 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm số gia của hàm số \[f[x] = x^3\], biết rằng :
a] \[x_0= 1;x = 1\]
b] \[x_0= 1;x = -0,1\]
Lời Giải:
a] \[y = f[x_0+x] - f[x_0] = f[2] - f[1] = 2^3-1^3= 7\].
b] \[y = f[x_0+x] - f[x_0] = f[0,9] - f[1]\] =\[ \left [ \frac{9}{10} \right ]^{3} - 1^3=\] \[ \frac{729}{1000} - 1 = -0,271\].
Bài 2 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11
Tính \[y\] và \[{{\Delta y} \over {\Delta x}}\]của các hàm số sau theo \[x\] và \[x\] :
a] \[y = 2x - 5\]; b] \[y = x^2- 1\];
c] \[y = 2x^3\]; d] \[y = {1 \over x}\].
Trả lời:
a] \[y = f[x+x] - f[x] = 2[x+x] - 5 - [2x - 5] = 2x\] và \[{{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{2\Delta x} \over {\Delta x}} = 2\].
b] \[\Delta y = f[\Delta x + x] - f[x] = {[x + \Delta x]^2} - 1 - [{x^2} - 1]\]
\[= 2x.\Delta x + {[\Delta x]^2} = \Delta x[2x + \Delta x]\] và \[{{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{\Delta x\left[ {2{\rm{x}} + \Delta x} \right]} \over {\Delta x}} = 2{\rm{x + }}\Delta {\rm{x}}\]
c] \[y = f[x+x] - f[x] = 2[x + x]^3- 2x^3\]= \[6{x^2}\Delta x + 6x{[\Delta x]^2} + 2{[\Delta x]^3} = 2\Delta x.[3{x^2} + 3x\Delta x + {[\Delta x]^2}]\] và \[{{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{2\Delta x\left[ {3{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}}\Delta x + \Delta {x^2}} \right]} \over {\Delta x}}\] \[= 6x^2+ 6xx + 2[x]^2\].
d] \[y = f[x+x] - f[x] =\]\[-{1 \over x} + {1 \over {x +\Delta x}} = {{x - \Delta x - x} \over {x\left[ {x + \Delta x} \right]}} = - {{\Delta x} \over {x\left[ {x + \Delta x} \right]}}\]
\[{{\Delta y} \over {\Delta x}} = {1 \over {\left[ {x + \Delta x} \right]x}}\]
Bài 3 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tính [bằng định nghĩa] đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a] \[y = x^2+ x\] tại \[x_0= 1\];
b] \[y = \frac{1}{x}\] tại \[x_0= 2\];
c] \[y = \frac{x+1}{x-1}\]tại \[x_0= 0\].
Giải:
a] Giả sử \[x\] là số gia của số đối tại \[x_0= 1\]. Ta có:
\[y = f[1 +x] - f[1] = [1 + x]^2+ [1 + x]- [1^2+1]\]
\[= 3x +[x]^2\]
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = 3 +x\]; \[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} [3 + \Delta x] = 3\]
Vậy \[f'[1] = 3\].
b] Giả sử \[x\] là số gia của số đối tại \[x_0= 2\]. Ta có:
\[y = f[2 +x] - f[2] = \frac{1}{2+\Delta x} - \frac{1}{2} = - \frac{\Delta x}{2\left [ 2+\Delta x \right ]}\];
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}\]= - \[ \frac{1}{2\left [ 2+\Delta x \right ]}\]; \[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ { - {1 \over {2.[2 + \Delta x]}}} \right] = - {1 \over 4}\]
Vậy \[f'[2] = - \frac{1}{4}\].
c]Giả sử \[x\] là số gia của số đối tại \[x_0= 0\].Ta có:
\[y = f[x] - f[0] = \frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}- [ -1] = \frac{2\Delta x}{\Delta x-1}\];
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}\]=\[ \frac{2}{\Delta x-1}\];\[ \mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\]\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}\]=\[ \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\]\[ \frac{2}{\Delta x-1} = -2\].
Vậy \[f'[0] = -2\].
Bài 4 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Chứng minh rằng hàm số
\[f[x] = \left\{ \matrix{
{[x - 1]^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr
- {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.\]
không có đạo hàm tại điểm \[x = 0\] nhưng có đạo hàm tại điểm \[x = 2\].
Giải:
Ta có\[ \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} f[x] = \]\[ \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} [x 1]^2= 1\] và\[ \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} f[x] = \]\[\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} [-x^2]= 0\].
vì\[\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f[x] \]\[ \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\]nên hàm số \[y = f[x]\] gián đoạn tại \[x = 0\], do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm \[x = 0\].
Ta có\[\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\]\[ \frac{f\left [ 2+\Delta x \right ]-f\left [ 2 \right ]}{\Delta x}\]=\[ \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\]\[ \frac{\left [ 1+\Delta x \right ]^{2}-1^{2}}{\Delta x}\]=\[ \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} [2 +x] = 2\].
Vậy hàm số \[y = f[x]\] có đạo hàm tại \[x = 2\] và \[f'[2] = 2\].