Bài tập 1 trang 159 SGK Đại số 10
Cho hàm số\[f[x] = \sqrt {{x^2} + 3x + 4} - \sqrt { - {x^2} + 8x - 15} \]
a] Tìm tập xác định \[A\] của hàm số \[f[x]\]
b] Giả sử \[B = \left\{ {x \in R:4 < x \le \left. 5 \right\}} \right.\]. Hãy xác định các tập hợp \[A\backslash B\] và \[R\backslash[A\backslashB]\]
Trả lời:
a] Tập xác định của \[f[x]\] :
\[A{\rm{ }} = {\rm{\{ }}x{\rm{ }} \in {\rm{ }}R|{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\text { và } - {x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}15{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\} \]
\[x^2+ 3x + 4\] có biệt thức \[Δ = 3^2 16 < 0\]
Theo định lí dấu của tam thức:
\[x^2+ 3x + 4 0 ,x \mathbb R\]
\[-x^2+ 8x 15 = 0 x_1= 3, x_2= 5\]
\[-x^2+ 8x 15 > 0 3 x 5 A = [3; 5]\]
b] \[A\backslash B = [3; 4]\]
\[R\backslash[A\backslash B] = [-; 3] [4;+]\]
Câu 2 trang 160 SGK Đại số 10
Cho phương trình: \[mx^2 2x 4m 1 = 0\]
a] Chứng minh rằng với mọi giá trị \[m0\] phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b] Tìm giá trị của \[m\] để \[- 1\] là một nghiệm của phương trình. Sau đó tìm nghiệm còn lại.
Trả lời:
a]
\[\eqalign{
& \Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}1 + m\left[ {4m + 1} \right] = 4{m^2} + m + 1 \cr
& = [2m + {1 \over 4}] + {{15} \over {16}} > 0,\forall m \cr} \]
Vậy với \[m 0\] phương trình là bậc hai có biệt thức chung nên có \[2\] nghiệm phân biệt.
b]
\[\eqalign{
& f[ - 1] = m + 2 - 4m - 1 = - 3m + 1 = 0 \cr
& \Rightarrow m = {1 \over 3} \cr} \]
Với \[m = {1 \over 3}\], phương trình có nghiệm \[x_1= -1\].
Gọi nghiệm kia là \[x_2\].
Theo định lí Vi-et:
\[{x_1} + {x_2} = - 1 + {x_2} = {2 \over m} = {2 \over {{1 \over 3}}} \Rightarrow {x_2} = 7\]
Câu 3 trang 160 SGK Đại số 10
Cho phương trình:
\[{x^2} - 4mx + 9{[m - 1]^2} = 0\]
a] Xem xét với giá trị nào của \[m\], phương trình trên có nghiệm.
b] Giả sử \[x_1,x_2\]là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức liên hệ giữa \[x_1\]và \[x_2\]không phụ thuộc vào \[m\].
c] Xác định \[m\] để hiệu các nghiệm của phương trình bằng \[4\].
Trả lời:
a] \[Δ = 4m^2 9[m-1] = -5m^2+18m 9 0\]
\[\Leftrightarrow {3 \over 5} \le m \le 3\]
Phương trình có nghiệm nếu \[m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]\]
b] Với \[m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]\]phương trình có các nghiệm \[x_1,x_2\]thỏa mãn
\[x_1+x_2= 4m\] [1] và \[x_1.x_2= 9[m-1]^2\] [2]
Từ [1]và [2] suy ra:
\[{x_1}.{x_2} = 9{[{{{x_1} + {x_2}} \over 4} - 1]^2} \Leftrightarrow 9{[{x_1} + {x_2} - 4]^2} - 16{x_1}{x_2} = 0\]
Đó là hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình độc lập với tham số \[m\].
c] Ta có:
\[x_2 x_1= 4;x_1+ x_2= 4m x_2= 2[m+1]\]
Thay biểu thức của \[x_2\]vào phương trình thì được:
\[4[m+1]^2 8m[m+1] + 9[m-1]^2= 0\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow 5{m^2} - 18m + 13 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m_{_1}} = 1;{m_2} = {{13} \over 5} \cr} \]
Kết luận: Nếu \[m = 1\] hoặc \[m = {{13} \over 5}\]thì hiệu của \[2\] nghiệm bằng \[4\].
Câu 4 trang 160 SGK Đại số 10
Chứng minh các bất đẳng thức:
a] \[5[x-1] < x^5 1< 5x^4[x-1]\], biết \[x 1 > 0\]
b] \[x^5+ y^5 x^4y xy^4 0\], biết \[x + y 0\]
c] \[\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} < 5\], biết rằng \[a, b, c\] cùng lớn hơn và \[a + b + c = 1\]
Trả lời:
a] \[x -1 >5 x > 1 x^4> x^3> x^2> x > 1\]
\[\Rightarrow {\rm{ }}5{x^4} > {\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} > {\rm{ }}5\]
\[\Rightarrow {\rm{ }}5{x^4}\left[ {x - 1} \right]{\rm{ }} > {\rm{ }}\left[ {x - 1} \right][{\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1]{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5} - 1{\rm{ }} > {\rm{ }}5{\rm{ }}\left[ {x - 1} \right]\]
b]
\[{{x^5} + {\rm{ }}{y^{5}}-{\rm{ }}{x^4}y{\rm{ }}-{\rm{ }}x{y^4} = {\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right]\left[ {{x^4}-{\rm{ }}{x^3}y{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2}{y^2}-{\rm{ }}x{y^3} + {\rm{ }}{y^4}} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}xy\left[ {{x^{3}} + {\rm{ }}{y^3}} \right]}\]
\[{ = {\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right]{\rm{ }}\left[ {\left[ {{\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}{x^3}y + {\rm{ }}{x^2}{y^2}-{\rm{ }}x{y^3} + {\rm{ }}{y^4}} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}xy\left[ {{x^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}} \right]} \right]}\]
\[{ = {\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right]{\rm{ }}\left[ {\left[ {{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right]{\rm{ }} - {\rm{ }}2xy\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]} \right]}\]
\[{ = {\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right]{\rm{ }}{{\left[ {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y} \right]}^2}\left[ {{x^2} + {\rm{ }}{y^2}} \right]{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0}\]do \[x + y 0; [x - y]^2 0, x^2+ y^2 0\]
c]
\[\eqalign{
& {[\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} ]^2} \cr
& = 4[a + b + c] + 3 + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4b + 1} + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4c + 1} + 2\sqrt {4b + 1} \sqrt {4c + 1} \cr
& \le 4[a + b + c] + 3 + [4a + 1] + [4b + 1] + [4a + 1] + [4c + 1] + [4b + 1] + [4c + 1] \cr
& \le 12[a + b + c] + 9 \le 21 \le 25 \cr
& \cr} \]
Suy ra Đpcm