Bài 1 trang 168 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a] \[y = \frac{x-1}{5x-2}\];
b] \[y = \frac{2x+3}{7-3x}\];
c] \[y = \frac{x^{2}+2x+3}{3-4x}\];
d] \[y = \frac{x^{2}+7x+3}{x^{2}-3x}\].
Lời giải:
a] \[ y'=\frac{\left [ x-1 \right ]'.\left [ 5x-2 \right ]-\left [ x-1 \right ].\left [ 5x-2 \right ]'}{\left [ 5x-2 \right ]^{2}}\]=\[ \frac{5x-2-\left [ x-1 \right ].5}{\left [ 5x-2 \right ]^{2}}\]= \[ \frac{3}{\left [ 5x-2 \right ]^{2}}\].
b] \[ y'=\frac{\left [ 2x+3 \right ]'.\left [ 7-3x \right ]-\left [ 2x+3 \right ].\left [ 7-3x \right ]'}{\left [ 7-3x \right ]^{2}}\]= \[ \frac{2\left [ 7-3x \right ]-\left [ 2x+3 \right ].\left [ -3 \right ]}{\left [ 7-3x \right ]^{2}}\]=\[ \frac{23}{\left [ 7-3x \right ]^{2}}\].
c] \[ y'=\frac{\left [ x^{2}+2x+3 \right ]'.\left [ 3-4x \right ]-\left [ x^{2} +2x+3\right ].\left [ 3-4x \right ]'}{\left [ 3-4x \right ]^{2}}\]= \[ \frac{\left [ 2x+2 \right ].\left [ 3-4x \right ]-\left [ x^{2}+2x+3 \right ].[-4]}{[3-4x]^{2}}\]=\[ \frac{-2[2x^{2}-3x-9]}{[3-4x]^{2}}\].
d] \[ y'=\frac{[x^{2}+7x+3]'.[x^{2}-3x]-[x^{2}+7x+3].[x^{2}-3x]'}{[x^{2}-3x]^{2}}\]=\[ \frac{[2x-7].[x^{2}-3x]-[x^{2}+7x+3].[2x-3]}{[x^{2}-3x]^{2}}\]=\[ \frac{-10x^{2}-6x+9}{[x^{2}-3x]^{2}}\].
Bài 2 trang 168 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Giải các bất phương trình sau:
a] \[y'0\] với \[y = \frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\].
Lời giải:
a] Ta có\[ y'=\frac{[x^{2}+x+2]'.[x-1]-[x^{2}+x+2].[x-1]'}{[x-1]^{2}}\]=\[ \frac{x^{2}-2x-3}{[x-1]^{2}}\]
Do đó, \[y'0 \Leftrightarrow\frac{-2x^{2}+2x+9}{[x^{2}+x+4]} >0\Leftrightarrow-2x^2+2x +9>0 \]\[\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{19}}{2} < x < \frac{1+\sqrt{19}}{2}\Leftrightarrow x \left [ \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} \right ]\]
Vì \[x^2+x +4 =\] \[ \left [ x+\frac{1}{2} \right ]^{2}\]+\[ \frac{15}{4} >0\], với \[ x \mathbb R\].
Bài 3 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a]\[y = 5sinx -3cosx\];
b]\[ y=\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}\];
c]\[y = x cotx\];
d] \[y = \frac{sinx}{x}\]+\[ \frac{x}{sinx}\];
e] \[y = \sqrt{[1 +2tanx]}\];
f] \[y = sin\sqrt{[1 +x^2]}\].
Lời giải:
a] \[y'=5cosx-3[-sinx]=5cosx+3sinx\];
b]\[ y'={{[sinx+cos x]'.[sin x- cos x]-[sin x+cos x][sin x-cos x]'}\over{[sin x-cos x]^{2}}}\]=\[ {{[cos x-sin x][sin x -cos x]-[sin x+ cos x][cosx+sinx]}\over{[sin x-cosx ]^{2}}}\]=\[ {{-2}\over{[sin x-cos x]^{2}}}\].
c] \[y' = cotx +x. \left [ -\frac{1}{sin^{2}x} \right ]= cotx - \frac{x}{sin^{2}x}\].
d]\[ y'=\frac{[sin x]'.x-sin x.[x]'}{x^{2}}\]+\[ \frac{[x]'.sin x-x[sin x]'}{sin^{2}x}\]=\[ \frac{x.cosx-sinx}{x^{2}}+\frac{sin x-x.cosx}{sin^{2}x}\]\[ = [x. cosx -sinx] \left [ \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{sin^{2}x} \right ]\].
e]\[ y'=\frac{[1+2tanx]'}{2\sqrt{1+2tanx}}\] =\[ \frac{\frac{2}{cos^{2}x}}{2\sqrt{1+2tanx}}\] =\[ \frac{1}{cos^{2}x\sqrt{1+2tanx}}\].
f] \[y' = [\sqrt{[1+x^2]}]' cos\sqrt{[1+x^2]}\]\[= \frac{[1+x^{2}]'}{2\sqrt{1+x^{2}}}cos\sqrt{[1+x^2]}= \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}cos\sqrt{[1+x^2]}\].
Bài 4 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a] \[y = \left[ {9 - 2x} \right][2{x^3} - 9{x^2} + 1]\];
b] \[y = \left [ 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right ][7x -3]\];
c] \[y = [x -2]\sqrt{[x^2+1]}\];
d] \[y = tan^2x+cotx^2\];
e] \[y = cos\frac{x}{1+x}\].
Lời giải:
a] \[y' = \left[ {9 - 2x} \right]'[2{x^3} - 9{x^2} + 1] + \left[ {9 - 2x} \right][2{x^3} - 9{x^2} + 1]'\]
\[= - 2[2{x^3} - 9{x^2} + 1] + \left[ {9 - 2x} \right][6{x^2} - 18x] \]
\[= - 16{x^3} + 108{x^2} - 162x - 2\].
b] \[y' = \left [ 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right ]'.[7x -3] +\left [ 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right ][7x -3]'\]
\[= \left [ \frac{3}{\sqrt{x}} +\frac{2}{x^{3}}\right ][7x -3] +7 \left [ 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right ]\].
c] \[y' =[x -2]'\sqrt{[x^2+1]} +[x -2]\sqrt {[x^2+1]}' \]
\[=\sqrt {[x^2+1]}+[x -2]\frac{\left [ x^{2}+1 \right ]'}{2\sqrt{x^{2}+1}}\]
\[=\sqrt {[x^2+1]}+[x -2] \frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}\]
\[ =\sqrt {[x^2+1]}+ \frac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}\]=\[ \frac{2x^{2}-2x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}\].
d] \[y' = 2tanx.[tanx]' - [x^2]' \left [ -\frac{1}{sin^{2}x^{2}} \right ]\]=\[ \frac{2tanx}{cos^{2}x}+\frac{2x}{sin^{2}x^{2}}\].
e] \[y' = \left [ \frac{1}{1+x} \right ]'sin \frac{x}{1+x}\]=\[ -\frac{1}{[1+x]^{2}}sin \frac{x}{1+x}\].