Bài 1 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
Trong không gian cho ba đoạn thẳng \[AB, BC, CD\] sao cho \[AB \bot BC\,\,,\,\,BC \bot CD\,\,,\,\,CD \bot AB\]. Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua bốn điểm \[A, B, C, D\]. Tính bán kính mặt cầu đó nếu \[AB = a\,\,,\,\,BC = b\,\,,\,\,CD = c\].
Giải
Vì \[AB \bot BC\] và \[AB \bot CD\]nên \[AB \bot \left[ {BCD} \right]\]. Suy ra \[AB \bot BD\]
Vì \[CD \bot BC\]và \[CD \bot AB\]nên \[CD \bot \left[ {ABC} \right] \Rightarrow CD \bot AC\]
Gọi \[I\] là trung điểm \[AD\], ta có \[IB = IA = ID = IC\]nên các điểm \[A, B, C, D\] cùng nằm trên mặt cầu đường kính \[AD\].
Mặt khác ta có: \[A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} \]
\[= {a^2} + {b^2} + {c^2}\]
Do đó bán kính mặt cầu là \[R = {1 \over 2}AD = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \]
Bài 2 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
a] Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt \[A, B\] cho trước.
b] Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt \[A, B, C\] cho trước.
c] Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước.
d] Có hay không một mặt cầu đi qua một đường tròn và một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đường tròn.
Giải
a] \[I\] là tâm của các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt \[A, B\] cho trước khi và chỉ khi \[IA = IB\]. Vậy tập hợp tâm của các mặt cầu đó là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\].
b] \[I\] là tâm của mặt cầu đi qua ba điểm phân biệt \[A, B, C\] cho trước khi và chỉ khi \[IA = IB = IC\]. Vậy:
+ Nếu ba điểm \[A, B, C\] không thẳng hàng thì tập hợp các điểm \[I\] là trục của đường trong ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
+ Nếu ba điểm \[A, B, C\] thẳng hàng thì tập hợp các điểm \[I\] là rỗng.
c] \[I\] là tâm của mặt cầu đi qua đường tròn \[[C]\] cho trước khi và chỉ khi \[I\] cách đều mọi điểm của đường tròn. Vậy tập hợp các điểm \[I\] là trục của đường tròn \[[C]\].
d] Gọi \[M\] là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đường tròn \[[C]\]. Lấy điểm \[A\] nằm trên \[[C]\] và gọi \[I\] là giao điểm của trục đường tròn và mặt phẳng trung trực của \[MA\]. Khi đó mặt cầu tâm \[I\], bán kính \[R = IA = IM\] là mặt cầu đi qua đường tròn \[[C]\] và đi qua điểm \[M\].
Bài 3 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho điểm \[M\] nằm trong mặt cầu \[[S]\]. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
a] Mọi mặt phẳng đi qua điểm \[M\] đều cắt \[[S]\] theo một đường tròn.
b] Mọi đường thẳng đi qua \[M\] đều cắt \[[S]\] tại hai điểm phân biệt.
Giải
Cả a] và b] đều đúng.
Bài 4 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho đường thẳng \[d\] và điểm \[A\] không nằm trên \[d\]. Xét các mặt cầu đi qua \[A\] và có tâm nằm trên \[d\]. Chứng minh rằng các mặt cầu đó luôn đi qua một đường tròn cố định.
Giải
Giả sử \[[S]\] là một mặt cầu đi qua \[A\] và có tâm \[O\] nằm trên \[d\]. Gọi \[[P]\] là mặt phẳng đi qua \[A\] và vuông góc với \[d\], \[[P]\] cắt mặt cầu \[[S]\] theo đường tròn \[[C]\] có tâm là giao điểm \[I\] của \[[P]\] và \[d\], có bán kính \[r = IA\]. Vậy đường tròn \[[C]\] cố định và mặt cầu \[[S]\] luôn luôn đi qua \[[C]\].