Bài 1 trang 7 sách giáo khoa hình học 11
Chứng minh rằng: \[M'\] = \[T_{\vec{v}}\][M] \[ M = T_{\vec{-v}}[M']\]
Lời giải:
\[M'\] = \[T_{\vec{v}}\]\[ [M]\] \[\overrightarrow{MM'}\]=\[\overrightarrow{v}\]\[\overrightarrow{M'M}\]=\[\vec{-v}\]
\[M\] = \[T_{\vec{-v}} [M']\]
Bài 2 trang 7 sách giáo khoa hình học 11
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow{AG}\]. Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ\[\overrightarrow{AG}\]biến D thành A.
Lời giải:
- Dựng hình bình hành ABB'G và ACC'G. Khi đó ta có \[\overrightarrow{AG}\]= \[\overrightarrow{BB'}\]= \[\overrightarrow{CC'}\]
. Suy ra \[T_{\vec{AG}} [A] = G\], \[T_{\vec{AG}} [B] = B'\], \[T_{\vec{AG}} [C]= C'\].
Do đó ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow{AG}\]là tam giác GB'C'.
- Trên tia GA lấy điểm D sao cho A là trung điểm của GD. Khi đó ta có \[\overrightarrow{DA}\]= \[\overrightarrow{AG}\]. Do đó, \[T_{\vec{AG}} [D] = A\]
Bài 3 trang 7 sách giáo khoa hình học 11
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ \[v = [ -1;2]\], hai điểm \[A[3;5]\], \[B[ -1; 1]\] và đường thẳng d có phương trình \[x-2y+3=0\].
a. Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo\[\overrightarrow{v}\]
b. Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo\[\overrightarrow{v}\]
c. Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo\[\overrightarrow{v}\]
Lời giải:
a] Giả sử \[A'=[x'; y']\]. Khi đó
\[T_{\vec{v}} [A] = A'\] \[\left\{\begin{matrix} {x}'= 3 - 1 = 2\\ {y}'= 5 + 2 = 7 \end{matrix}\right.\]
Do đó: \[A' = [2;7]\]
Tương tự \[B' =[-2;3]\]
b] Ta có \[A = T_{\vec{v}} [C]\] \[C= T_{\vec{-v}} [A] = [4;3]\]
c] Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Gọi \[M[x;y]\], \[M' = T_{\vec{v}} =[x'; y']\]. Khi đó \[x' = x-1, y' = y + 2\] hay \[x = x' +1, y= y' - 2\]. Ta có \[M d x-2y +3 = 0\]\[ [x'+1] - 2[y'-2]+3=0 x' -2y' +8=0 M' d'\]
\[[d]\] có phương trình \[x-2y+8=0\]. Vậy \[T_{\vec{v}}[d] = d'\]
Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến
Gọi \[T_{\vec{v}}[d] =d'\]. Khi đó \[d'\] song song hoặc trùng với \[d\] nên phương trình của nó có dạng \[x-2y+C=0\]. Lấy một điểm thuộc \[d\] chẳng hạn \[B[-1;1]\], khi đó \[T_{\vec{v}}[B] = [-2;3]\] thuộc \[d'\] nên \[-2 -2.3 +C =0\]. Từ đó suy ra \[C = 8\].
Bài 4 trang 7 sách giáo khoa hình học 11
Cho hai đường thẳng \[a\] và\[b\] song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến \[a\] thành \[b\]. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế?
Lời giải:
Giả sử \[a\] và \[b\] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow{v}\]
. Lấy điểm \[A\] bất kì thuộc \[a\] và điểm \[B\] bất kì thuộc \[b\]. Với mỗi điểm \[M\], gọi \[M'\] = \[T_{\vec{AB}}\] \[[M]\] . Khi đó \[\overrightarrow{MM'}\]= \[\overrightarrow{AB}\]. Suy ra \[\overrightarrow{AM}\]=\[\overrightarrow{BM'}\]
Ta có:
\[M a \] \[\overrightarrow{AM}\]cùng phương với \[\overrightarrow{v}\] \[\overrightarrow{BM'}\] cùng phương với \[\overrightarrow{v}\] \[ M' b\].
Từ đó suy ra phép tịnh tiến theo \[\overrightarrow{AB}\]biến \[a\] thành \[b\].
Vì \[A,B\] là các điểm bất kì [ trên \[a\] và \[b\] tương ứng] nên có vô số phép tịnh tiến biến \[a\] thành \[b\].