Bài 1 trang 71 sách giáo khoa hình học lớp 11
Trong mặt phẳng [\[ \alpha\]] cho hình bình hành \[ABCD\]. Qua \[A, B, C, D\] lần lượt vẽ bốn đường thẳng \[a,b,c,d\] song song với nhau và không nằm trên [\[ \alpha\]]. Trên \[a, b, c\] lần lượt lấy ba điểm \[A', B', C'\] tùy ý
a] Hãy xác định giao điểm \[D'\] của đường thẳng \[d\] với mặt phẳng \[[A'B'C']\]
b] Chứng minh \[A'B'C'D'\] là hình bình hành
Lời giải:
a] Gọi \[O = AC BD\]; \[O'\] là trung điểm \[A'C'\] thì \[OO'// AA'\]
\[\Rightarrow OO'// d // b\] mà \[O \in BD \subset mp [b;d]\] [ mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song]; \[d B'O' = D'\] là điểm cần tìm
b] \[mp[a;d]// mp[ b;c]\] , mặt phẳng thứ 3 \[[A'B'C'D']\] cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến song song : \[A'D' // B'C'\]. Chứng minh tương tự được \[A'B' // D'C'\]. Từ đó suy ra \[A'B'C'D'\] là hình bình hành.
Bài 2 trang 71 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\]. Gọi \[M\] và \[M'\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[BC\] và \[B'C'\]
a] Chứng minh rằng \[AM\] song song với \[A'M'\].
b] Tìm giao điểm của mặt phẳng \[[AB'C']\] với đường thẳng \[A'M\]
c] Tìm giao tuyến \[d\] của hai mặt phẳng \[[AB'C']\] và \[[BA'C']\]
d] Tìm giao điểm \[G\] của đường thẳng \[d\] với mặt phẳng \[[AM'M]\]
Chứng minh \[G\] là trọng tâm của tam giác \[AB'C'\].
Lời giải:
a] \[ABC.A'B'C'\] là hình lăng trụ tam giác nên ta có: \[AA'//MM'\] và\[AA'=MM'\] nên suy ra \[AA'M'M\] là hình bình hành.
Do đó: \[AM//A'M'\]
b] Trong \[mp [AA'M'M]\], gọi \[K=MA' AM' \],
\[K =A'M\cap [AB'C']\]
c] Trong \[[ABB'A']\] gọi \[O= AB'\cap A'B\]
Do đó: \[[AB'C']\cap [BA'C']=d C'O\]
d] Trong \[[AB'C']\]: gọi \[G= C'O AM'\],
\[G \in AM'\subset [ AMM']\] nên \[G=d\cap [AMM']\].
Mà \[O, M'\] lần lượt là trung điểm \[AB'\] và \[B'C'\] nên \[G\] là trọng tâm của tam giác \[AB'C'\].
Bài 3 trang 71 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]
a] Chứng minh rằng hai mặt phẳng \[[BDA']\] và \[[B'D'C]\] song song với nhau
b] Chứng minh rằng đường chéo \[AC'\] đi qua trọng tâm\[{G_{1},{G_{2}}}\] của hai tam giác \[BDA'\] và \[B'D'C\]
c] Chứng minh\[{G_{1},{G_{2}}^{}}^{}\] chia đoạn \[AC'\] thành ba phần bằng nhau
d] Gọi \[O\] và \[I\] lần lượt là tâm của các hình bình hành \[ABCD\] và \[AA'C'C\]. Xác định thiết diện của mặt phẳng \[[A'IO]\] với hình hộp đã cho
Lời giải:
a] Tứ giác \[BDD'B'\] và \[A'BCD\] là hình bình hành nên: \[BD // B'D'\] \[\Rightarrow BD // [B'D'C]\]
và \[BA' // CD' \Rightarrow BA' // [ B'D'C]\]
Từ đó suy ra \[[ BDA'] //[B'D'C]\]
b] Gọi \[O,O'\] lần lượt là tâm của hình bình hành \[ABCD,A'B'C'D'\]
Gọi \[{G_{1}}^{}\], \[{G_{2}}^{}\] là giao điểm của \[AC'\] với \[A'O\] và \[CO'\]
\[\Delta {G_1}OA\] đồng dạng \[\Delta {G_1}A'C'\]
\[ \Rightarrow {{{G_1}O} \over {{G_1}A'}} = {{OA} \over {A'C'}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{A{G_1}} \over {A'O}} = {2 \over 3}\]
\[\Rightarrow G_1\] là trọng tâm \[\Delta A'BD\].
Chứng minh tương tự ta có: \[G_2\] là trọng tâm \[\Delta B'D'C\].
Vậy \[AC'\] đi qua \[G_1,G_2\].
c] Chứng minh
\[ \frac{A{G_{1}}^{}}{{G_{1}C}^{}}\]= \[ \frac{AO}{A'C'} = \frac{1}{2}\] [vì \[\Delta G_1OA\] đồng dạng \[\Delta G_1 A'C'\]]
Từ đó suy ra:\[ {AG_{1} = {G_{1}{G_{2}= {G_{2}C'}^{}}^{}}^{}}^{}\]
d] \[[A'IO] [AA'C'C]\] suy ra thiết diện là \[AA'C'C\]
Bài 4 trang 71 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho hình chóp \[S.ABCD\]. Gọi \[A_1\]là trung điểm của cạnh \[SA\] và \[A_2\]là trung điểm của đoạn \[AA_1\]. Gọi \[[α]\] và \[[β]\] là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng \[[ABCD]\] và lần lượt đi qua \[A_1,A_2\]. Mặt phẳng \[[α]\] cắt các cạnh \[SB, SC, SD\] lần lượt tại \[B_1, C_1, D_1\]. Mặt phẳng \[[β]\] cắt các cạnh \[SB, SC, SD\] lần lượt tại \[B_2, C_2, D_2\]. Chứng minh:
a] \[B_1, C_1, D_1\]lần lượt là trung điểm của các cạnh \[SB, SC, SD\]
b] \[B_1B_2= B_2B\], \[C_1C_2= C_2C\], \[D_1D_2= D_2D\]
c] Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác \[ABCD\].
Lời giải:
a] \[[α] // [ABCD] A_1B_1// AB\] Mặt khác \[A_1\] là trung điểm của \[SA\] nên \[A_1B_1\] là đường trung bình của tam giác \[SAB\] \[ B_1\] là trung điểm của \[SB\]. Chứng minh tương tự với các điểm còn lại.
b] Ta có \[A_2B_2\] là đường trung bình hình thang \[ABB_1A_1\] nên \[B_1B_2=B_2B\]. Chứng minh tương tự ta được:\[C_1C_2= C_2C\], \[D_1D_2= D_2D\].
c] Có hai hình chóp cụt: \[ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1};ABCD.{A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\].