Bài 1 trang 80 - SGK Hình học 12
Viết phương trình mặt phẳng:
a] Đi qua điểm \[M[1; -2; 4]\] và nhận\[\overrightarrow{n}= [2; 3; 5]\] làm vectơ pháp tuyến.
b] Đi qua điểm \[A[0 ; -1 ; 2]\] và song song với giá của các vectơ\[\overrightarrow{u}[3; 2; 1]\] và\[\overrightarrow{v}[-3; 0; 1]\].
c] Đi qua ba điểm \[A[-3 ; 0 ; 0], B[0 ; -2 ; 0] và C[0 ; 0 ; -1]\].
Giải:
a] Măt phẳng \[[P]\] đi quađiểm \[M[1; -2; 4]\] và nhận\[\overrightarrow{n}= [2; 3; 5]\] làm vectơ pháp tuyến có phương trình:
\[2[x - 1] + 3[x +2] + 5[z - 4] = 0\] \[ [P] : 2x + 3y + 5z -16 = 0\].
b] Xét\[\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \right ] = [2 ; -6 ; 6]\], khi đó\[\overrightarrow{n} \bot [Q]\] là mặt phẳng qua \[A [0 ; -1 ; 2]\] và song song với\[\overrightarrow{u}\],\[\overrightarrow{v}\][nhận\[\overrightarrow{u}\],\[\overrightarrow{v}\]làm vectơ chỉ phương].
Phương trình mặt phẳng \[[Q]\] có dạng:
\[2[x - 0] - 6[y + 1] + 6[z - 2] = 0\] \[ [Q] :x - 3y + 3z - 9 = 0\]
c] Gọi \[R]\] là mặt phẳng qua \[A, B, C\] khi đó\[\overrightarrow{AB}\],\[\overrightarrow{AC}\]là cặp vectơ chỉ phương của \[[R]\].
\[\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ]=\begin{vmatrix} -2 &0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 0 & 3\\ -1& 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 3 & -2\\ 3& 0 \end{vmatrix}\]
\[= [2 ; 3 ; 6]\]
Vậy phương trình mặt phẳng \[[R]\] có dạng: \[2x + 3y + 6z + 6 = 0\]
Bài 2 trang 80 - SGK Hình học 12
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\] với \[A[2 ; 3 ; 7]\] và \[B[4 ; 1 ; 3]\].
Giải:
Mặt phẳng trung trực \[[P]\] của đoạn thẳng \[AB\] chính là mặt phẳng qua trung điểm \[I\] của \[AB\] và vuông góc với vectơ\[\overrightarrow{AB}\].
Ta có\[\overrightarrow{AB}[2 ; -2; -4]\] và \[I[3 ; 2 ; 5]\] nên phương trình mặ phẳng \[[P]\] là:
\[2[x - 3] - 2[y - 2] - 4[z - 5] = 0\]
hay \[x -y -2z + 9 = 0\].
Bài 3 trang 80 - SGK Hình học 12
a] Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ \[[Oxy], [Oyz], [Ozx]\].
b] Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \[M[2 ; 6 ; -3]\] và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Giải:
a] Mặt phẳng \[[Oxy]\] qua điểm \[O[0 ; 0 ; 0]\] và có vectơ pháp tuyến\[\overrightarrow{k}[0 ; 0 ; 1]\] và là vectơ chỉ phương của trục \[Oz\]. Phương trình mặt phẳng \[[Oxy]\] có dạng:
\[ 0.[x - 0] +0.[y - 0] +1.[z - 0] = 0\] hay \[z = 0\].
Tương tự phương trình mặt phẳng \[[Oyz]\] là : \[x = 0\] và phương trình mặt phẳng \[[Ozx]\] là: \[y = 0\].
b] Mặt phẳng \[[P]\] qua điểm \[M[2; 6; -3]\] song song với mặt phẳng \[Oxy\] nhận\[\overrightarrow{k}[0 ; 0 ; 1]\] làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng \[[P]\] có dạng: \[z +3 = 0\].
Tương tự mặt phẳng \[[Q]\] qua \[M\] và song song với mặt phẳng \[Oyz\] có phương trình \[x - 2 = 0\].
Mặt phẳng qua \[M\] song song với mặt phẳng \[Oxz\] có phương trình \[y - 6 = 0\].
Bài 4 trang 80 - SGK Hình học 12
Lập phương trình mặt phẳng :
a] Chứa trục \[Ox\] và điểm \[P[4 ; -1 ; 2]\];
b] Chứa trục \[Oy\] và điểm \[Q[1 ; 4 ;-3]\];
c] Chứa trục \[Oz\] và điểm \[R[3 ; -4 ; 7]\];
Giải:
a] Gọi \[[α]\] là mặt phẳng qua \[P\] và chứa trục \[Ox\], thì \[[α]\] qua điểm \[O[0 ; 0 ; 0]\] và chứa giá của các vectơ\[\overrightarrow{OP} [4 ; -1 ; 2]\] và\[\overrightarrow{i}[ 1 ; 0 ;0]\]. Khi đó\[\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{OP},\overrightarrow{i} \right ] =[0 ; 2 ; 1]\] là vectơ pháp tuyến của \[[α]\].
Phương trình mặt phẳng \[[α]\] có dạng: \[2y + z = 0\].
b] Tương tự phần a] mặt phẳng \[[β]\] qua điểm \[Q[1 ; 4 ; -3]\] và chứa trục \[Oy\] thì [[β]\] qua điểm \[O[ 0 ; 0 ; 0]\] có\[\overrightarrow{OQ} [1 ; 4 ; -3]\] và\[\overrightarrow{j}[0 ; 1 ; 0]\] là cặp vectơ chỉ phương.
Phương trìnhmặt phẳng \[[β]\] có dạng : \[3x + z = 0\].
c] Mặt phẳng \[[ɣ]\] qua điểm \[R[3 ; -4 ; 7]\] và chứa trục \[Oz\] chứa giá của các vectơ
\[\overrightarrow{OR}[3 ; -4 ; 7]\] và\[\overrightarrow{k}[0 ; 0 ; 1]\] nhận \[2\] vectơ này làm vectơ chỉ phương.
Phương trình mặt phẳng \[[ɣ]\] có dạng: \[4x + 3y = 0\].