Bài 1 trang 91 SGK Hình học 12
Cho hệ toạ độ \[Oxyz\], cho bốn điểm \[A[ 1 ; 0 ; 0 ], B[ 0 ; 1 ; 0 ], C[ 0 ; 0 ; 1 ], D[ -2 ; 1 ; -1]\].
a] Chứng minh \[A, B, C, D\] là bốn đỉnh của một tứ diện.
b] Tìm góc giữa hai đường thẳng \[AB\] và \[CD\].
c] Tính độ dài đường cao của hình chóp \[A.BCD\].
Giải
a] Viết phương trình mặt phẳng \[[ABC]\]: Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:
\[[ABC]\]: \[{x \over 1} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\]
Thế các toạ độ của \[D\] vào vế phải của phương trình mặt phẳng \[[ABC]\], ta có:
\[-2 + 1 - 1 - 1 = 1 0\]
Vậy \[D [ABC]\] hay bốn điểm \[A, B, C, D\] không đồng phẳng, suy ra đpcm.
b] Gọi \[α\] là góc giữa hai đường thẳng \[AB, CD\] ta có:
\[cos α =\left| {\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]} \right|\]
Do đó, ta tính \[\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]\]. Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AB} \],\[\overrightarrow {CD} \]được tính theo công thức:
\[\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = {{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\]
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [ - 1,1,0]\], \[\overrightarrow {CD} = [ - 2,1, - 2]\]
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}= [-1].[-2] + 1.1 + 0.[-2] = 3\]
\[\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{[ - 1]}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \]
\[\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{[ - 2]}^2} + {1^2} + {{[ - 2]}^2}} = 3\]
\[ \Rightarrow \cos [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ] = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ] = 45^0\]\[\Rightarrow α= 45^0\]
c] Ta có \[\overrightarrow {BC} = [0; - 1;1],\] \[\overrightarrow {BD} = [ - 2;0; - 1]\]
Gọi \[\overrightarrow n \]là vectơ pháp tuyến của \[[BCD]\] thì:
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = [-1; -2; 2]\]
Phương trình mặt phẳng \[[BCD]\]:
\[-1[x - 0] - 2[y - 1] + 2[ z - 0] = 0\]
\[ \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 2 = 0\]
Chiều cao của hình chóp \[A.BCD\] bằng khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[[BCD]\]:
\[h = d[A,[BCD]] = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{[ - 2]}^2}} }} = {3 \over 3} = 1\]
Bài 2 trang 91 SGK Hình học 12
Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \[[S]\] có đường kính là \[AB\] biết rằng \[A[ 6 ; 2 ; -5], B[-4 ; 0 ; 7]\].
a] Tìm toạ độ tâm \[I\] và tính bán kính \[r\] của mặt cầu \[[S]\]
b] Lập phương trình của mặt cầu \[[S]\].
c] Lập phương trình của mặt phẳng \[[α]\] tiếp xúc với mặt cầu \[[S]\] tại điểm \[A\].
Giải
a] Tâm \[I\] của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\]:
\[\left\{ \matrix{
{x_1} = {1 \over 2}[6 - 4] \Rightarrow {x_1} = 1 \hfill \cr
{y_1} = {1 \over 2}[2 + 0] \Rightarrow {y_1} = 1 \hfill \cr
{z_1} = {1 \over 2}[7 - 5] \Rightarrow {z_1} = 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[I[1; 1; 1]\]
Bán kính \[R = {{AB} \over 2}\]
\[A{B^2} = {\rm{ }}{\left[ { - 4{\rm{ }} - {\rm{ }}6} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {{\rm{ }}0{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {7{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right]^2} = {\rm{ }}248\]
\[ \Rightarrow AB = \sqrt {248} = 2\sqrt {62} \]
Vậy \[R = {{AB} \over 2} = \sqrt {62} \]
b] Phương trình mặt cầu \[[S]\]
\[{\left[ {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right]^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{\left[ {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {z{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right]^{2}} = {\rm{ }}62\]
\[ \Leftrightarrow \] \[{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} - {\rm{ }}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}59{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
c] Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \[A\] chính là mặt phẳng qua \[A\] và vuông góc với bán kính \[IA\]. Ta có:
\[\overrightarrow {IA} = [5; 1 ; -6]\]
Phương trình mặt phẳng cần tìm là:
\[5[x - 6] + 1[y - 2] - 6[z + 5] = 0\]
\[ \Leftrightarrow 5x + y - 6z - 62 = 0\]
Bài 3 trang 92 SGK Hình học 12
Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], cho bốn điểm \[A[-2 ; 6 ; 3], B[1 ; 0 ; 6], C[0; 2 ; -1], D[1 ; 4 ; 0]\].
a] Viết phương trình mặt phẳng \[[BCD]\]. Suy ra \[ABCD\] là một tứ diện.
b] Tính chiều cao \[AH\] của tứ diện \[ABCD\].
c] Viết phương trình mặt phẳng \[[α]\] chứa \[AB\] và song song với \[CD\].
Giải
a] Ta có: \[\overrightarrow {BC} = [-1; 2; -7]\], \[\overrightarrow {BD}= [0; 4; -6]\]
Xét vectơ \[\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]\] \[\Rightarrow \overrightarrow a = [16; - 6; - 4] = 2[8; - 3; - 2]\]
Mặt phẳng \[[BCD]\] đi qua \[B\] và nhận \[\overrightarrow {a'} = [8; -3; -2]\] làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
\[8[x - 1] -3y - 2[z - 6] = 0\] \[\Leftrightarrow 8x - 3y - 2z + 4 = 0\]
Thay toạ độ của \[A\] vào phương trình của \[[BC]\] ta có:
\[8.[-2] - 3.6 - 2.6 + 4 = -42 0\]
Điều này chứng tỏ điểm \[A\] không thuộc mặt phẳng \[[BCD]\] hay bốn điểm \[A, B, C, D\] không đồng phẳng, và \[ABCD\] là một tứ diện.
b] Chiều cao \[AH\] là khoảng cách từ \[A\] đến mặt phẳng \[[BCD]\]:
\[AH = d[A,[BCD]]\] = \[{{\left| {8.[ - 2] - 3.6 - 2.3 + 4} \right|} \over {\sqrt {{8^2} + {{[ - 3]}^2} + {{[ - 2]}^2}} }} = {{36} \over {\sqrt {77} }}\]
c] Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [3; - 6; 3]\], \[\overrightarrow {CD} = [ 1; 2; 1]\]
Mặt phẳng \[[α]\] chứa \[AB\] và \[CD\] chính là mặt phẳng đi qua \[A[-2; 6; 3]\] và nhận cặp vectơ \[\overrightarrow {AB} \], \[\overrightarrow {CD} \]làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]\]
\[\Rightarrow \overrightarrow n \]= \[[-12; 0; 12] = -12[1; 0; -1]\]
Vậy phương trình của \[[α]\] là:
\[1[x + 2] + 0[y - 6] - 1[z - 3] = 0 \]\[\Leftrightarrow x - z + 5 = 0\]
Bài 4 trang 92 SGK Hình học 12
Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], lập phương trình tham số của đường thẳng:
a] Đi qua hai điểm \[A[1 ; 0 ; -3], B[3 ; -1 ; 0]\].
b] Đi qua điểm \[M[2 ; 3 ; -5]\] và song song với đường thẳng \[\] có phương trình.
\[\left\{ \matrix{
x = - 2 + 2t \hfill \cr
y = 3 - 4t \hfill \cr
z = - 5t. \hfill \cr} \right.\]
Giải
a] Đường thẳng \[d\] qua \[A, B\] có vectơ chỉ phương \[[2, -1, 3]\] nên phương trình tham số của \[d\] có dạng:
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - t \hfill \cr
z = - 3 + 3t \hfill \cr} \right.\]
với \[t \mathbb{R}\].
b] Đường thẳng \[d // \]. Mà \[\overrightarrow u [2, -4, -5]\] là vectơ chỉ phương của \[\] nên cũng là vectơ chỉ phương của \[d\]. Phương trình tham số của đường thẳng \[d\] là:
\[\left\{ \matrix{
x = 2 + 2s \hfill \cr
y = 3 - 4s \hfill \cr
z = - 5 - 5s \hfill \cr} \right.\]
với \[s \mathbb{R}\].