Bài 1 trang 23 sách giáo khoa hình học lớp 11
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho các điểm \[A[-3;2], B[-4;5]\] và \[C[-1;3]\]
a] Chứng minh rằng các điểm \[A'[2;3], B'[5;4]\] và \[C'[3;1]\] theo thứ tự là ảnh của \[A, B\] và \[C\] qua phép quay tâm \[O\] góc -\[ 90^{\circ}\].
b] Gọi tam giác \[{A_{1}}\]\[{B_{1}}\]\[{C_{1}}\] là ảnh của tam giác \[ABC\] qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm \[O\] góc - \[ 90^{\circ}\]và phép đối xứng qua trục \[Ox\]. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác \[{A_{1}}^{}\]\[{B_{1}}^{}\]\[{C_{1}}^{}\]
Lời giải:
a] [hình bên]
Gọi \[r = OA,α\] là góc lượng giác \[[Ox, OA]\], \[β\] là góc lượng giác \[[Ox, OA']\]. Giả sử \[A'= [ x'; y']\]. Khi đó ta có:
\[β =α - \]\[ 90^{\circ}\], \[x = r cos α, y = r sinα\]
Suy ra
\[x' = r cos β = r cos [α -\] \[ 90^{\circ}\]]\[ = r sinα = y\]
\[y' = r sin β = r sin [α -\] \[ 90^{\circ}\]] \[= - r cos α= - x\]
Do đó phép quay tâm \[O\] góc - \[ 90^{\circ}\]biến \[A[-3;2]\] thành \[A'[2;3]\]. Các trường hợp khác làm tương tự
b] [ hình 1.26]
Gọi tam giác \[{A_{1}}^{}\]\[{B_{1}}^{}\]\[{C_{1}}^{}\] là ảnh của tam giác \[A'B'C'\] qua phép đối xứng trục \[Ox\]. Khi đó \[{A_{1}}^{}\][2;-3], \[{B_{1}}^{}\] [5;-4], \[{C_{1}}^{}\][3;-1] là đáp số cần tìm.
Bài 2 trang 24 sách giáo khoa hình học 11
Cho hình chữ nhật \[ABCD\]. Gọi \[E, F, H, K, O, I, J\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO\]. Chứng minh hai hình thang\[AEJK\] và \[FOIC\] bằng nhau.
Lời giải:
Gọi \[L\] là trung điểm của đoạn thẳng \[OF\]. Ta thấy phép đối xứng qua đường thẳng \[EH\] biến hình thang \[AEJK\] thành hình thang \[BELF\], phép tịnh tiến theo vectơ \[BF\] biến hình thang \[BELF\] thành hình thang \[FOIC\]. Như vậy phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép biến hình trên, sẽ biến hình thang \[AEJK\] thành hình thang \[FOIC\]. Do đó hai hình thang \[AEJK\] và \[FOIC\] bằng nhau.
Bài 3 trang 24 sách giáo khoa hình học 11
Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác \[ABC\] thành tam giác \[A'B'C'\] thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác \[ABC\] tương ứng thành trọng tâm của tam giác \[A'B'C'\]
Lời giải:
Gọi phép dời hình đó là \[f\]. Do \[f\] biến các đoạn thẳng \[AB, AC\] tương ứng thành các đoạn thẳng \[A'B', A'C' \] nên nó cũng biến các trung điểm \[M, N\] của các đoạn thẳng \[AB, AC\] tương ứng theo thứ tự thành các trung điểm \[M', N'\] của các đoạn thẳng \[A'B', A'C'\]. Vậy \[f\] biến các trung tuyến \[CM, BN\] của tam giác \[ABC\] tương ứng thành các trung tuyến \[C'M', B'N'\] của tam giác \[A'B'C'\]. Từ đó suy ra \[f\] biến trọng tâm \[G\] của tam giác \[ABC\] của \[CM\] và \[BN\] thành trọng tâm \[G'\] của tam giác \[A'B'C'\] là giao của \[C'M'\] và \[B'N'\].