Câu 100 trang 22 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Rút gọn các biểu thức:
a] \[\sqrt {{{\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]}^2}} + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } ;\]
b] \[\sqrt {15 - 6\sqrt 6 } + \sqrt {33 - 12\sqrt 6 } ;\]
c] \[\left[ {15\sqrt {200} - 3\sqrt {450} + 2\sqrt {50} } \right]:\sqrt {10} .\]
Gợi ý làm bài
a]
\[\eqalign{
& \sqrt {{{\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]}^2}} + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \cr
& = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| + \sqrt {3 - 2\sqrt 3 + 1} \cr} \]
\[\eqalign{
& = 2 - \sqrt 3 + \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]}^2}} \cr
& = 2 - \sqrt 3 + \left| {\sqrt 3 - 1} \right| \cr} \]
\[ = 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 - 1 = 1\]
b]
\[\eqalign{
& \sqrt {15 - 6\sqrt 6 } + \sqrt {33 - 12\sqrt 6 } \cr
& = \sqrt {9 - 2.3\sqrt 6 + 6} + \sqrt {9 - 2.3.2\sqrt 6 + 24} \cr} \]
\[\eqalign{
& = \sqrt {{{\left[ {3 - \sqrt 6 } \right]}^2}} + \sqrt {{{\left[ {3 - \sqrt 6 } \right]}^2}} \cr
& = \left| {3 - \sqrt 6 } \right| + \left| {3 - 2\sqrt 6 } \right| \cr} \]
\[ = 3 - \sqrt 6 + 2\sqrt 6 - 3 = \sqrt 6 \]
c]
\[\eqalign{
& \left[ {15\sqrt {200} - 3\sqrt {450} + 2\sqrt {50} } \right]:\sqrt {10} \cr
& = 15\sqrt {{{200} \over {10}}} - 3\sqrt {{{450} \over {10}}} + 2\sqrt {{{50} \over {10}}} \cr} \]
\[\eqalign{
& = 15\sqrt {20} - 3\sqrt {45} + 2\sqrt 5 \cr
& = 15\sqrt {4.5} - 3\sqrt {9.5} + 2\sqrt 5 \cr} \]
\[\eqalign{
& = 15.2\sqrt 5 - 3.3\sqrt 5 + 2\sqrt 5 \cr
& = 30\sqrt 5 - 9\sqrt 5 + 2\sqrt 5 = 23\sqrt 5 \cr} \]
Câu 101 trang 22 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
a] Chứng minh:
\[x - 4\sqrt {x - 4} = {\left[ {\sqrt {x - 4} - 2} \right]^2};\]
b] Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\[\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } .\]
Gợi ý làm bài
a] Ta có:
\[x - 4\sqrt {x - 4} = \left[ {x - 4} \right] - 2.2\sqrt {x - 4} + 4\]
\[ = {\left[ {\sqrt {x - 4} } \right]^2} - 2.2\sqrt {x - 4} + {2^2} = {\left[ {\sqrt {x - 4} - 2} \right]^2}\]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b] A xác định khi: \[x - 4 \ge 0\] và \[x - 4\sqrt {x - 4} \ge 0\]
\[x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4\]
\[\eqalign{
& x - 4\sqrt {x - 4} = \left[ {x - 4} \right] - 2.2\sqrt {x - 4} + 4 \cr
& = {\left[ {\sqrt {x - 4} - 2} \right]^2} \ge 0 \cr} \]
Ta có:
\[A = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } \]
\[ = \sqrt {{{\left[ {\sqrt {x - 4} + 2} \right]}^2}} + \sqrt {{{\left[ {\sqrt {x - 4} - 2} \right]}^2}} \]
\[ = \left| {\sqrt {x - 4} + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|\]
\[ = \sqrt {x - 4} + 2 + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|\]
- Nếu
\[\eqalign{
& \sqrt {x - 4} - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 4} \ge 2 \cr
& \Leftrightarrow x - 4 \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 8 \cr} \]
thì: \[\left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right| = \sqrt {x - 4} - 2\]
Ta có: \[A = \sqrt {x - 4} + 2 + \sqrt {x - 4} - 2 = 2\sqrt {x - 4} \]
- Nếu:
\[\eqalign{
& \sqrt {x - 4} - 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 4} < 2 \cr
& \Leftrightarrow x - 4 < 4 \Leftrightarrow x < 8 \cr} \]
thì \[\left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right| = 2 - \sqrt {x - 4} \]
Ta có: \[A = \sqrt {x - 4} + 2 + 2 - \sqrt {x - 4} = 4\]
Câu 102 trang 22 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
\[A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \];
\[B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} .\]
a]Chứng minh rằng \[A \ge 1\] và \[B \ge \sqrt 5 \];
b] Tìm x, biết:
\[\sqrt x = \sqrt {x + 1} = 1\];
\[\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} = 2\]
Gợi ý làm bài
\[A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \] xác định khi và chỉ khi:
\[\left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \,x \ge 0\]
\[B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} \] xác định khi và chỉ khi:
\[\left\{ \matrix{
x + 4 \ge 0 \hfill \cr
x - 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 4 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \ge 1\]
a] Với \[x \ge 0\]ta có: \[x + 1 \ge 1 \Rightarrow \sqrt {x + 1} \ge 1\]
Suy ra: \[A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \ge 1\]
Với \[x \ge 1\]ta có:
\[x + 4 \ge 1 + 4 \Leftrightarrow x + 4 \ge 5 \Leftrightarrow \sqrt {x + 4} \ge \sqrt 5 \]
Suy ra: \[B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} \ge 5\]
b.*\[\sqrt x + \sqrt {x + 1} = 1\]
Điều kiện : \[x \ge 0\]
Ta có: \[\sqrt x + \sqrt {x + 1} \ge 1\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \[\sqrt x = 0\]và \[\sqrt {x + 1} = 1\]
Suy ra: x = 0
* \[\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} = 2\]
Ta có: \[\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} \ge \sqrt 5 \]
Mà: \[\sqrt 5 > \sqrt 4 \Leftrightarrow \sqrt 5 > 2\]
Vậy không có giá trị nào của x để \[\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} = 2\].