Bài 12 trang 106 sgk Toán 9 - tập 1
Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8 cm.
a] Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b] Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD=AB.
Hướng dẫn giải:
a] Vẽ\[OH\perp AB\], ta có
\[HA=HB=4cm.\]
Xét tam giác HOB vuông tại H, có:
\[OH^{2}=OB^{2}-HB^{2}=5^{2}-4^{2}=9\Rightarrow OH=3[cm]\].
b] Vẽ\[OK\perp CD\].
Tứ giác KOHI có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra \[OK=HI\]. Ta có \[HI=4-1=3cm\], suy ra \[OK=3cm.\]
Vậy \[OH=OK = 3cm.\]
Hai dây AB và CD cách đều tâm nên chúng bằng nhau.
Do đó \[AB = CD.\]
Bài 13 trang 106 sgk Toán 9 - tập 1
Bài 13. Cho đường tròn [O] có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a] EH = EK
b] EA = EC.
Hướng dẫn giải:
a] Vì \[HA=HB\] nên \[OH\perp AB\].
Vì \[KC=KD\] nên \[OK\perp CD\].
Mặt khác, \[AB=CD\] nên \[OH=OK\] [hai dây bằng nhau thì cách đều tâm].
\[\Delta HOE=\Delta KOE\][cạnh huyền, cạnh góc vuông]
Suy ra \[EH=EK. [1]\]
b] Ta có \[AH=KC\] [một nửa của hai dây bằng nhau]. [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[EH+HA=EK+KC\]
hay \[EA=EC.\]
Bài 14 trang 106 sgk Toán 9 - tập 1
Bài 14. Cho đường tròn tâm \[O\] bán kính \[25cm\], dây \[AB\] bằng \[40cm\]. Vẽ dây \[CD\] song song với \[AB\] và có khoảng cách đến \[AB\] bằng \[22cm\]. Tính độ dài dây \[CD\].
Giải
Vẽ\[OH\perp AB\], đường thẳng \[OH\] cắt \[CD\] tại \[K\].
Ta có
\[OK\perp CD\]
\[KC=KD\]
\[AH=HB\]
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \[OBH\] vuông tại \[H\], ta có:
\[OH=\sqrt{OB^2-\left [ \frac{AB}{2} \right ]^2}=15[cm]\]
\[\Rightarrow OK=22-15=7[cm]\]
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \[OKD\] vuông tại \[K\], ta có:
\[KD=\sqrt{OD^2-OK^2}=24[cm]\]
\[\Rightarrow CD=2KD=48[cm]\]