Bài 1.14 trang 15 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a] \[y = \sin 2x\]
b] \[y = \cos x - \sin x\]
c] \[y = {\sin ^2}x\]
Hướng dẫn làm bài:
a]\[y = \sin 2x\]
Hàm số có chu kỳ \[T = \pi \]
Xét hàm số \[y = \sin 2x\] trên đoạn \[{\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\], ta có:
\[y' = 2\cos 2x\]
\[y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} \hfill \cr
x = {{3\pi } \over 4} \hfill \cr} \right.\]
Bảng biến thiên:
Do đó trên đoạn \[{\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\], hàm số đạt cực đại tại \[{\pi \over 4}\], đạt cực tiểu tại \[{{3\pi } \over 4}\]và \[{y_{CD}} = y[{\pi \over 4}] = 1;\,\,{y_{CT}} = y[{{3\pi } \over 4}] = - 1\]
Vậy trên R ta có:
\[{y_{CĐ}} = y[{\pi \over 4} + k\pi ] = 1;\]
\[{y_{CT}} = y[{{3\pi } \over 4} + k\pi ] = - 1,k \in Z\]
b]
Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn \[{\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\].
\[\eqalign{
& y' = - \sin x - \cos x \cr
& y' = 0 < => \tan x = - 1 < = > x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \cr} \]
Lập bảng biến thiên trên đoạn \[{\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\]
Hàm số đạt cực đại tại \[x = - {\pi \over 4} + k2\pi \], đạt cực tiểu tại \[x = {{3\pi } \over 4} + k2\pi [k \in Z]\]và
\[{y_{CĐ}} = y[ - {\pi \over 4} + k2\pi ] = \sqrt 2\] ;
\[{y_{CT}} = y[{{3\pi } \over 4} + k2\pi ] = - \sqrt 2 [k \in Z]\]
c] Ta có: \[y = {\sin ^2}x = {{1 - \cos 2x} \over 2}\]
Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \[\pi \]. Ta xét hàm số \[y = {1 \over 2} - {1 \over 2}\cos 2x\]trên đoạn \[{\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\].
\[\eqalign{
& y' = \sin 2x \cr
& y' = 0 < = > \sin 2x = 0 < = > x = k.{\pi \over 2}[k \in Z] \cr} \]
Lập bảng biến thiên trên đoạn \[\left[ {0,\pi } \right]\]
Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \[x = k.{\pi \over 2}\] với k chẵn, đạt cực đại tại \[x = k.{\pi \over 2}\]với k lẻ, và
\[{y_{CT}} = y[2m\pi ] = 0;\]
\[{y_{CĐ}} = y[[2m + 1]{\pi \over 2}] = 1[m \in Z]\]
Bài 1.15 trang 15 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Xác định giá trị của m để hàm số sau có cực trị:
a] \[y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 5\]
b] \[y = {x^3} + 2m{x^2} + mx - 1\]
c] \[y = {{{x^2} - 2mx + 5} \over {x - m}}\]
Hướng dẫn làm bài:
a] TXĐ: D = R
\[y' = 3{x^2} - 6x + m\]
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y đổi dấu trên R.
3x2 6x + m có hai nghiệm phân biệt.
= 9 3m > 0 3m < 9 m < 3.
Vậy hàm số đã cho có cực trị khi m < 3.
b] TXĐ: D = R
y = 3x2+ 4mx + m
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y đổi dấu trên R.
3x2+ 4mx + m có hai nghiệm phân biệt.
= 4m2-3m > 0 ó m[4m 3] > 0
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < 0 \hfill \cr
m > {3 \over 4} \hfill \cr} \right.\]
Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc \[m > {3 \over 4}\].
c] TXĐ: D = R\{m}
\[y' = {{{x^2} - 2mx + 2{m^2} - 5} \over {{{[x - m]}^2}}}\]
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y đổi dấu trên D
x2 2mx + 2m2 5 có hai nghiệm phân biệt.
= - m2+ 5 > 0 \[- \sqrt 5 < m < \sqrt 5 \]
Bài 1.16 trang 15 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 2x2+ mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.
[Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011]
Hướng dẫn làm bài:
TXĐ: D = R
y = 3x2 4x + m ; y = 0 3x2 4x + m = 0
Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi:
= 4 3m > 0 \[m < {4 \over 3}\] [*]
Hàm số có cực trị tại x = 1 thì :
y[1] = 3 4 + m = 0 => m = 1 [thỏa mãn điều kiện [*] ]
Mặt khác, vì:
y = 6x 4 => y[1] = 6 4 = 2 > 0
cho nên tại x = 1, hàm số đạt cực tiểu.
Vậy với m = 1, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1