Câu 118 trang 94 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tứ giác ABCD có AB CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, AD, AC. Chứng minh rằng EG = FH.
Giải:
Trong BCD ta có:
E là trung điểm của BC [gt]
F là trung điểm của BD [gt]
nên EF là đường trung bình của BCD
EF // CD và EF= \[{1 \over 2}\]CD [1]
Trong ACD ta có:
H là trung điểm của AC [gt]
G là trung điểm của AD [gt]
nên HG là đường trung bình của ACD
HG // AC và HG = \[{1 \over 2}\]AC [2]
Từ [1] và [2] suy ra: EF // HG và EF = HG
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
Mặt khác: EF // CD [chứng minh trên]
AB CD[gt]
Suy ra EF AB
Trong ABC ta có HE là đường trung bình HE // AB
Suy ra: HE EF hay \[\widehat {FEH} = {90^0}\]
Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.
Câu 119 trang 94 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang cân.
Giải:
Vì D là trung điểm của AB [gt]
E là trung điểm của AC [gt]
nên DE là đường trung bình của tam giác ABC
DE // BC hay DE = HM
Suy ra: Tứ giác DEMH là hình thang
M là trung điểm của BC [gt]
nên DM là đường trung bình của BAC
DM = \[{1 \over 2}\]AC [tính chất đường trung bình của tam giác] [1]
Trong tam giác vuông AHC có\[\widehat {AHC} = {90^0}\].
HE là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AC.
HE = \[{1 \over 2}\]AC [tính chất tam giác vuông] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: DM = HE
Vậy hình thang DEMH là hình thang cân [vì có hai đường chéo bằng nhau]
Câu 120 trang 95 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AC. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, DC. Chứng minh rằng tứ giác AEFG là hình thang cân.
Giải:
Trong BDC ta có:
E là trung điểm của BD [gt]
F là trung điểm của BC [gt]
nên EF là đường trung bình của BDC
EF // DC
hay EF // AG
Suy ra: Tứ giác AEFG là hình thang
G là trung điểm của DC [gt]
nên FG là đường trung bình của CBD
FG // BD \[{\widehat G_1} = {\widehat D_1}\] [đồng vị] [1]
Trong tam giác ABD vuông tại A có AE là trung tuyến thuộc cạnh huyền BD
AE = ED = \[{1 \over 2}\]BD [tính chất tam giác vuông]
nên AED cân tại E \[ \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat D_1}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[{\widehat A_1} = {\widehat G_1}\]
Vậy hình thang AEFG là hình thang cân [theo định nghĩa].