Bài 1.28 trang 22 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Hình được tạo thành từ hình lập phương ABCD.ABCD khi ta bỏ đi các điểm trong của mặt phẳng [ABCD] có phải là một hình đa diện không?
Hướng dẫn làm bài:
Không phải là hình đa diện, vì trong hình đó có cạnh [chẳng hạn AB] không phải là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Bài 1.29 trang 22 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Chứng minh rằng mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.
Hướng dẫn làm bài:
Lấy một đỉnh B tùy ý của hình đa diện [H]. Gọi M1là một mặt của hình đa diện [H] chứa B. Gọi A, B, C là ba đỉnh liên tiếp của M1. Khi đó AB, BC là hai cạnh của [H]. Gọi M2là mặt khác với M1và có chung cạnh AB với M1. Khi đó M2còn có ít nhất một đỉnh D sao cho A, B, D là ba đỉnh khác nhau liên tiếp của M2. Nếu \[D \equiv C\] thì M1và M2có hai cạnh chung AB và BC, điều này vô lí. Vậy D phải khác C. Do đó qua đỉnh B có ít nhất ba cạnh BA, BC và BD.
Bài 1.30 trang 22 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho hình lăng trị ABC.ABC có đáy là tam giác vuông cân ở C. Cạnh BB = a và tạo với đáy một góc bằng 600. Hình chiếu vuông góc hạ từ B lên đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ đó theo a.
Hướng dẫn làm bài:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó \[\widehat {B'BG} = {60^0},B'G = {{a\sqrt 3 } \over 2},BG = {a \over 2}\]
Gọi D là trung điểm của AC, khi đó\[BD = {{3a} \over 4}\].
Ta có BC2+ CD2= BD2 , do đó\[B{C^2} + {{B{C^2}} \over 4} = {{5B{C^2}} \over 4} = {{9{a^2}} \over {16}}\]
Suy ra \[B{C^2} = {9 \over {20}}{a^2},{S_{ABC}} = {{B{C^2}} \over 2} = {9 \over {40}}{a^2}\]
\[{V_{ABC.A'B'C'}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}.{{9{a^2}} \over {40}} = {{9\sqrt 3 } \over {80}}{a^3}\]
Bài 1.31 trang 22 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Tính thể tích khối lăng trụ có chiều cao bằng h, đáy là ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính r.
Hướng dẫn làm bài:
Chia đáy của hình lăng trụ đã cho thành năm tam giác cân có chung đỉnh O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Khi đó diện tích đáy bằng\[{5 \over 2}{r^2}\sin {72^0}\] . Do đó thể tích lăng trụ đó bằng \[{5 \over 2}h{r^2}\sin {72^0}\].