Bài 13 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Giải các phương trình sau [với ẩn z]
a] \[iz + 2 - i = 0\];
b] \[\left[ {2 + 3i} \right]z = z - 1\];
c] \[\left[ {2 - i} \right]\overline z - 4 = 0\];
d] \[\left[ {iz - 1} \right]\left[ {z + 3i} \right]\left[ {\overline z - 2 + 3i} \right] = 0\];
e] \[{z^2} + 4 = 0\];
Giải
a] \[iz + 2 - i = 0 \Leftrightarrow iz = i - 2 \Leftrightarrow z = {{ - 2 + i} \over i} = {{\left[ { - 2 + i} \right]i} \over { - 1}} \]
\[\Leftrightarrow z = 1 + 2i\]
b] \[\left[ {2 + 3i} \right]z = z - 1 \Leftrightarrow \left[ {1 + 3i} \right]z = - 1\]
\[ \Leftrightarrow z = {{ - 1} \over {1 + 3i}} = {{ - 1 + 3i} \over {\left[ {1 + 3i} \right]\left[ {1 - 3i} \right]}} = {{ - 1 + 3i} \over {10}} = - {1 \over {10}} + {3 \over {10}}i\]
c] \[\left[ {2 - i} \right]\overline z - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {2 + i} \right]z = 4\]
\[\Leftrightarrow z = {4 \over {2 + i}} = {{4\left[ {2 - i} \right]} \over 5} \Leftrightarrow z = {8 \over 5} - {4 \over 5}i\]
d] \[\left[ {iz - 1} \right]\left[ {z + 3i} \right]\left[ {\overline z - 2 + 3i} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{ iz - 1 = 0 \hfill \cr z + 3i = 0 \hfill \cr \overline z - 2 + 3i = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = {1 \over i} = - i \hfill \cr z = - 3i \hfill \cr z = 2 + 3i \hfill \cr} \right.\]
Vậy tập nghiệm phương trình là \[S = \left\{ { - i, - 3i,2 + 3i} \right\}\]
e] \[{z^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {z^2} - 4{i^2}=0 \Leftrightarrow \left[ {z - 2i} \right]\left[ {z + 2i} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow z = 2i\text{ hoặc } z = - 2i\].
Vậy \[S = \left\{ {2i, - 2i} \right\}\]
Bài 14 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
a] Cho số phức \[z=x+yi\] . Khi \[z \ne i\], hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \[{{z + i} \over {z - i}}\]
b] Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \[z\] thỏa mãn điều kiện \[{{z + i} \over {z - i}}\] là số thực dương.
Giải
a] Ta có:
\[{{z + i} \over {z - i}} = {{x + \left[ {y + 1} \right]i} \over {x + \left[ {y - 1} \right]i}} = {{\left[ {x + \left[ {y + 1} \right]i} \right]\left[ {x - \left[ {y - 1} \right]i} \right]} \over {{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}} \]
\[= {{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}} + {{2x} \over {{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}}i\]
Vậy phần thực là \[{{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}}\], phần ảo là \[{{2x} \over {{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}}\].
b] Với \[z \ne i\], \[{{z + i} \over {z - i}}\] là số thực dương khi và chỉ khi
\[\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr {x^2} + {y^2} - 1 > 0 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
{y^2} > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
\left[ \matrix{
y > 1 \hfill \cr
y < - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\]
Vậy quỹ tích là trục ảo bỏ đoạn thẳng nối \[I, J\] [ \[I\] biểu diễn \[i\] và \[J\] biểu diễn \[-i\]].
Bài 15 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
a] Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm \[A, B, C\] không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức \[{z_1},{z_2},{z_3}\]. Hỏi trọng tâm của tam giác \[ABC\] biểu diễn số phức nào?
b] Xét ba điểm \[A, B, C\]] của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt \[{z_1},{z_2},{z_3}\]thỏa mãn \[\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|\].
Chứng minh rằng \[A, B, C\] là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi \[{z_1} + {z_2} + {z_3} = 0\]
Giải
a] Trong mặt phẳng phức gốc \[O, G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\] khi và chỉ khi
\[\overrightarrow {OG} = {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right]\].
Vậy \[G\] biểu diễn số phức \[{1 \over 3}\left[ {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right]\]vì \[\overrightarrow {OA} \], \[\overrightarrow {OB} \],\[\overrightarrow {OC} \] theo thứ tự biểu diễn \[{z_1},{z_2},{z_3}\].
b] Ba điểm \[A, B, C\] thuộc đường tròn tâm tại gốc tọa độ \[O\] nên tam giác \[ABC\] là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm \[G\] của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức là \[G \equiv O\] hay \[{z_1} + {z_2} + {z_3} = 0\]
Bài 16 trang 191 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Đố vui. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O [gốc tọa độ], A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức \[z'\ne0\] và B' biểu diễn số phức zz'.
Hai tam giác OAB, OA'B' có phải là hai tam giác đồng dạng không?
Giải
Do z không phải là số thực nên các điểm O, A, B theo thứ tự biểu diễn các số 0, 1, z là các đỉnh của một tam giác. Với \[z'\ne 0\], xét các điểm A', B' theo thứ tự biểu diễn các số z', zz' thì ta có:
\[{{OA'} \over {OA}} = {{|z'|} \over 1} = |z'|;\,\,{{OB'} \over {OB}} = {{|zz'|} \over {|z|}} = |z'|,\]
\[{{A'B'} \over {AB}} = {{|zz' - z'|} \over {|z - 1|}} = |z'|\]
Vậy tam giác OA'B' đồng dạng với tam giác OAB [tỉ số đồng dạng bằng |z'|].