Bài 1.31 trang 39 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxycho đường thẳng dcó phương trình \[3x - 5y + 3 = 0\]và vectơ \[\overrightarrow v = \left[ {2;3} \right]\]. Hãy viết phương trình đường thẳng dlà ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v \].
Giải:
Gọi \[M'[x';y'] \in d'\] là ảnh của \[M[x,y] \in d\] qua phép tịnh tiến theo vecto \[\vec v[2;3]\]
\[ \Rightarrow \left\{ \matrix{
x' = x + 2 \hfill \cr
y' = y + 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = x' - 2 \hfill \cr
y = y' - 3 \hfill \cr} \right.\]
Do \[M[x,y] \in d\] nên
\[\eqalign{
& 3x - 5y + 3 = 0 \cr
& \Rightarrow 3[x' - 2] - 5[y' - 3] + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3x' - 5y' + 12 = 0{\rm{ }}[d'] \cr} \]
Vậy \[M'[x';y'] \in d':3x' - 5y' + 12 = 0\]
Bài 1.32 trang 39 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hình bình hành ABCD có ABcố định, đường chéo ACcó độ dài bằng mkhông đổi. Chứng minh rằng khi C thay đổi, tập hợp các điểm Dthuộc một đường tròn cố định.
Giải:
Xem D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow {BA} \]. Do C chạy trên đường tròn [C] tâm A bán kính m, trừ ra giao điểm của [C] với đường thẳng AB, nên D thuộc đường tròn là ảnh của đường tròn nói trên qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow {BA} \].
Bài 1.33 trang 39 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tam giác ABC. Tìm một điểm M trên cạnh ABvà một điểm N trên cạnh AC sao cho MN song song với BC và AM = CN.
Giải:
Giả sử đã dựng được hai điểm M, N thỏa mãn điều kiện đầu bài. Đường thẳng qua M và song song với AC cắt BC tại D. Khi đó tứ giác MNCD là hình bình hành. Do đó CN = DM. Từ đó suy ra tam giác AMD cân tại M. Do đó \[\widehat {MA{\rm{D}}} = \widehat {M{\rm{D}}A} = \widehat {DAC}\]. Suy ra AD là phân giác trong của góc A. Do đó AD dựng được .Ta lại có \[\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {C{\rm{D}}} \], nên có thể xem M là ảnh của N qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow {DC} \].
Từ đó suy ra cách dựng:
- Dựng đường phân giác trong của góc A. Đường này cắt BC tại D.
- Dựng đường thẳng d là ảnh của đường thẳng AC qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow {C{\rm{D}}} \]. d cắt AB tại M.
- Dựng N sao cho \[\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {C{\rm{D}}} \].
Khi đó dễ thấy M, N thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Bài 1.34 trang 39 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxycho đường thẳng dcó phương trình \[3x - 2y - 6 = 0\]
a] Viết phương trình của đường thẳng \[d_1\] là ảnh của dqua phép đối xứng qua trục Oy
b] Viết phương trình của đường thẳng \[d_2\] là ảnh của dqua phép đối xứng qua đường thẳngcó phương trình \[x + y - 2 = 0\].
Giải:
a] \[{d_1}:3{\rm{x}} + 2y + 6 = 0\]
b] Giao của d và là \[A\left[ {2;0} \right]\]. Lấy \[B\left[ {0; - 3} \right]\]thuộc d. Ảnh của B qua phép đối xứng của đường thẳng là \[B'\left[ {5;2} \right]\]. Khi đó d' chính là đường thẳng \[AB':2{\rm{x}} - 3y - 4 = 0\]