Bài 14 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Xác định các hệ số \[a,b, c\] sao cho hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} + a{x^2} + bx + c\]đạt cực trị bằng \[0\] tại điểm \[x=-2\] và đồ thị của hàm số đi qua điểm \[A\left[ {1;0} \right]\].
Giải
\[f'\left[ x \right] = 3{x^2} + 2ax + b\]
\[f\] đạt cực trị tại điểm \[x=-2\] nên \[f'\left[ { - 2} \right] = 0\]
\[ \Rightarrow \]\[\,12 - 4a + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
\[f\left[ { - 2} \right] = 0 \Rightarrow - 8 + 4a - 2b + c = 0\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left[ {1;0} \right]\]nên: \[f\left[ 1 \right] = 0 \Rightarrow 1 + a + b + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 3 \right]\]
Từ [1], [2], [3] ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
4a - b = 12 \hfill \cr
4a - 2b + c = 8 \hfill \cr
a + b + c = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 3 \hfill \cr
b = 0 \hfill \cr
c = - 4 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[a=3, b=0, c=-4\].
Bài 15 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Chứng minh rằng với mọi giá trị của \[m\], hàm số: \[y = {{{x^2} - m\left[ {m + 1} \right]x + {m^3} + 1} \over {x - m}}\] luôn có cực đại và cực tiểu
Giải
TXĐ: \[D = {\mathbb{R}}\backslash \left\{ m \right\}\]
\[\eqalign{
& \;\;\;\;\;y' = 0\cr& \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {x - m} \right]^2} = 1 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = m - 1;f\left[ {m - 1} \right] = - {m^2} + m - 2 \hfill \cr
x = m + 1;f\left[ {m + 1} \right] = - {m^2} + m + 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Với mọi giá trị của \[m\], hàm số đạt cực đại tại điểm \[x=m-1\] và đạt cực tiểu tại điểm \[x=m+1\]