Bài 61 trang 91 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 61.
a] Vẽ đường tròn tâm \[O\], bán kính \[2cm\].
b] Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn \[[O]\] ở câu a]
c] Tính bán kính \[r\] của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b] rồi vẽ đường tròn \[[O;r]\].
Hướng dẫn giải:
a] Chọn điểm \[O\] làm tâm , mở compa có độ dài \[2cm\] vẽ đường tròn tâm \[O\], bán kính \[2cm\]: \[[O; 2cm]\]
Vẽ bằng eke và thước thẳng.
b] Vẽ đường kính \[AC\] và \[BD\] vuông góc với nhau. Nối \[A\] với \[B\], \[B\] với \[C\], \[C\] với \[D\], \[D\] với \[A\] ta được tứ giác \[ABCD\] là hình vuông nội tiếp đường tròn \[[O;2cm]\]
c] Vẽ \[OH \bot AD\]
\[OH\] là bán kính \[r\] của đường tròn nội tiếp hình vuông \[ABCD\].
\[r = OH = AH\].
\[{r^2} + {r^2} = O{A^2} = {2^2} \Rightarrow 2{r^2} = 4 \Rightarrow r = \sqrt 2 [cm]\]
Vẽ đường tròn \[[O;\sqrt2cm]\]. Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh
Bài 62 trang 91 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 62.
a] Vẽ tam giác \[ABC\] cạnh \[a = 3cm\].
b] Vẽ đường tròn \[[O;R]\] ngoại tiếp tam giác đều \[ABC\]. Tính \[R\].
c] Vẽđường tròn \[[O;r]\] nội tiếp tam giác đều \[ABC\]. Tính \[r\].
d] Vẽ tiếp tam giác đều \[IJK\] ngoại tiếp đường tròn \[[O;R]\].
Hướng dẫn giải:
a] Vẽ tam giác đều \[ABC\] có cạnh bằng \[3cm\] [dùng thước có chia khoảng và compa]
b] Tâm \[O\] của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \[ABC\] là giao điểm của ba đường trung trực [đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác của tam giác đều \[ABC\]].
Ta có: \[R= OA =\] \[\frac{2}{3}\]\[AA'\] =\[\frac{2}{3}\].\[\frac{AB\sqrt{3}}{2}\]=\[\frac{2}{3}\].\[\frac{3\sqrt{3}}{2}\]= \[\sqrt3 [cm]\].
c] Đường tròn nội tiếp \[[O;r]\] tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều \[ABC\] tại các trung điểm \[A', B', C'\] của các cạnh.
\[r = OA' = \]\[\frac{1}{3}\]\[ AA'\] =\[\frac{1}{3}\]\[\frac{3\sqrt{3}}{2}\]=\[\frac{\sqrt{3}}{2}[cm]\]
d] Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn \[[O;R]\] tại \[A,B,C\]. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại \[I, J, K\]. Ta có \[IJK\] là tam giác đều ngoại tiếp \[[O;R]\].
Bài 63 trang 92 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 63. Vẽ các hình lục giác đều, hình vuông, hình tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn \[[O;R]\] rồi tính cạnh của các hình đó theo \[R\].
Hướng dẫn giải:
Hình a.
Gọi \[{a_i}\]là cạnh của đa giác đều i cạnh.
a] \[{a_6}= R\] [vì \[O{A_1}{A_2}\]là tam giác đều]
Cách vẽ: vẽ đường tròn \[[O;R]\]. Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung \[\overparen{{A_1}{A_2}}\],\[\overparen{{A_2}{A_3}}\],...,\[\overparen{{A_6}{A_1}}\]mà căng cung có độ dài bằng \[R\]. Nối \[{A_1}\]với \[{A_2}\], \[{A_2}\]với \[{A_3}\],,\[{A_6}\]với \[{A_1}\] ta được hình lục giác đều \[{A_1}\]\[{A_2}\]\[{A_3}\]\[{A_4}\]\[{A_5}\]\[{A_6}\]nội tiếp đường tròn
b] Hình b
Trong tam giác vuông \[O{A_1}{A_2}\]: \[{a^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} \Rightarrow a = R\sqrt 2 \]
Cách vẽ như ở bài tập 61.
c] Hình c
\[{A_1}H\] =\[ R\] +\[\frac{R}{2}\]=\[\frac{3R}{2}\]
\[{A_3}H\]=\[\frac{a}{2}\]
\[{A_1}\]\[{A_3}\]= \[a\]
Trong tam giác vuông \[{A_1}H{A_3}\]ta có: \[{A_1}{H^2} = {A_1}{A_3}^2 - {A_3}{H^2}\].
Từ đó\[\frac{9R^{2}}{4}\]= \[a^2\]-\[\frac{a^{2}}{4}\].
\[\Rightarrow{a^2} = 3{R^2} \Rightarrow a = R\sqrt 3 \]
Cách vẽ như câu a] hình a.
Nối các điểm chia cách nhau một điểm thì ta được tam giác đều chẳng hạn tam giác \[{A_1}{A_3}{A_5}\]như trên hình c
Bài 64 trang 92 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 64.Trên đường tròn bán kính \[R\] lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm \[A\], ba cung\[\overparen{AB}\],\[\overparen{BC}\],\[\overparen{CD}\] sao cho:\[sđ\overparen{AB}\]=\[60^0\],\[sđ\overparen{BC}\]=\[90^0\],\[sđ\overparen{CD}\]=\[120^0\]
a] Tứ giác \[ABCD\] là hình gì?
b] Chứng minh hai đường chéo của tứ giác \[ABCD\] vuông góc với nhau.
c] Tính độ dài các cạnh của tứ giác \[ABCD\] theo \[R\].
Hướng dẫn giải:
\[\widehat {BA{\rm{D}}} = {{{{90}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {105^0}\][góc nội tiếp chắn \[\overparen{BCD}\]] [1]
\[\widehat {A{\rm{D}}C} = {{{{60}^0} + {{90}^0}} \over 2} = {75^0}\][ góc nội tiếp chắn\[\overparen{ABC}\]] [2]
Từ [1] và [2] có:
\[\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}C} = {105^0} + {75^0} = {180^0}\] [3]
\[\widehat {BA{\rm{D}}}\]và \[\widehat {A{\rm{D}}C}\]là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến \[AD\] và hai đường thẳng \[AB, CD\].
Đẳng thức [3] chứng tỏ \[AB // CD\]. Do đó tứ giác \[ABCD\] là hình thang, mà hình thang nội tiếp là hình thang cân.
Vậy \[ABCD\] là hình thang cân [\[BC = AD\] và \[sđ\overparen{BC}\]=\[sđ\overparen{AD}\]=\[90^0\]]
b] Giả sử hai đường chéo \[AC\] và \[BD\] cắt nhau tại \[I\].
\[\widehat {CI{\rm{D}}}\]là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên:
\[\widehat {CI{\rm{D}}}\] =\[\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{CD}}{2}\]=\[{{{{60}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {90^0}\]
Vậy \[AC \bot BD\]
c]
Vì \[sđ\overparen{AB}\]= \[60^0\]nên \[\widehat {AIB} = {60^0}\] \[=>AIB\] đều, nên \[AB = R\]
Vì \[sđ\overparen{BC}\]= \[90^0\]nên \[BC = R\sqrt2\]
\[ AD = BC = R\sqrt2\]
nên\[sđ\overparen{CD}\]= \[120^0\] nên \[CD = R\sqrt3\]